大阪大学 1990年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$a$ を正の定数とし，曲線 $y = x (a - x)$ を $C$ ， $x = t$ $(0 < t < a)$ のときの $C$ 上の点 $P$ における接線を $l$ とする．また，直線 $l$ と $y$ 軸との交点を $A$ ，点 $(t, 0)$ を $B$ ，原点を $O$ とする．このとき，次のものを求めよ．

(1) 曲線 $C$ と線分 $O B$ および線分 $P B$ で囲まれた部分の面積 $S$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $T$

(3) $S = T$ となるときの $t$ の値と比 $\frac{A O}{P B}$ の値．

出典：大阪大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

放物線を $y = a x - x^{2}$ と書き、 $P$ における接線の式を求める。 $S$ は $0 ≦ x ≦ t$ における放物線下の面積、 $T$ は同じ区間における接線と放物線の差の積分である。最後に $S = T$ を解き、長さの比を座標差で計算する。

解答

(1)

点 $P$ は $(t, t (a - t))$ であり、求める部分は $0 ≦ x ≦ t$ で曲線の下側にある。よって

S = \int_{0}^{t} x (a - x) d x = \frac{a t ^{2}}{2} - \frac{t ^{3}}{3} .

(2)

曲線の導関数は $a - 2 x$ であるから、点 $P$ における接線は

l : y = (a - 2 t) x + t^{2}

である。接線と曲線の差は

(a - 2 t) x + t^{2} - (a x - x^{2}) = (t - x)^{2} .

したがって

T = \int_{0}^{t} (t - x)^{2} d x = \frac{t ^{3}}{3} .

(3)

$S = T$ より

\frac{a t ^{2}}{2} - \frac{t ^{3}}{3} = \frac{t ^{3}}{3} .

$t > 0$ なので

t = \frac{3 a}{4} .

また $A = (0, t^{2})$ だから $A O = t^{2}$ 、 $P B = t (a - t)$ である。よって

\frac{A O}{P B} = \frac{t}{a - t} = 3.

したがって

t = \frac{3 a}{4}, \frac{A O}{P B} = 3.

大阪大学 1990年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1990年度
後期・理系数学後期第1問