大阪大学 1990年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面において点 $(1, 0)$ を原点のまわりに角 $α$ ， $β$ だけ回転した点をそれぞれ $P (a, b)$ ， $Q (c, d)$ とする．

x^{'} = x - 2 a (a x + b y), y^{'} = y - 2 b (a x + b y)

によって点 $(x, y)$ を点 $(x^{'}, y^{'})$ に移す1次変換を $f$ とし

x^{''} = x - 2 c (c x + d y), y^{''} = y - 2 d (c x + d y)

によって点 $(x, y)$ を点 $(x^{''}, y^{''})$ に移す1次変換を $g$ とする．
このとき合成変換 $g \circ f$ は原点のまわりの角 $2 (β - α)$ の回転であることを示せ．

出典：大阪大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

$P = (a, b) = (cos α, sin α)$ 、 $Q = (c, d) = (cos β, sin β)$ とおき、与えられた変換を行列で表す。 $f$ はベクトルから $P$ 方向成分の2倍を引く変換で、行列は三角関数の2倍角で簡単に書ける。 $g$ についても同様に行列化し、積 $GF$ を計算して標準的な回転行列 $R_{2 (β - α)}$ と一致することを示す。幾何的には、2つの直線対称移動の合成が回転になることも確認できる。

解答

$1, 0$ を原点のまわりに角 $α$ 、 $β$ だけ回転した点がそれぞれ $P, Q$ なので $P = (a, b) = (cos α, sin α), Q = (c, d) = (cos β, sin β)$ である。

まず $f$ の行列を求める。与えられた式は

(x^{'} y^{'}) = (x y) - 2 (a x + b y) (a b)

であるから

F = (1 - 2 a^{2} - 2 ab - 2 ab 1 - 2 b^{2})

である。ここに $a = cos α$ 、 $b = sin α$ を代入すると

F = (- cos 2 α - sin 2 α - sin 2 α cos 2 α)

となる。

同様に、 $g$ の行列は

G = (1 - 2 c^{2} - 2 c d - 2 c d 1 - 2 d^{2}) = (- cos 2 β - sin 2 β - sin 2 β cos 2 β)

である。

したがって合成変換 $g \circ f$ の行列は $GF$ であり、実際に掛けると

GF = (cos (2 β - 2 α) sin (2 β - 2 α) - sin (2 β - 2 α) cos (2 β - 2 α))

である。これは原点のまわりに角 $2 β - 2 α = 2 (β - α)$ だけ回転する行列である。よって $g \circ f$ は原点のまわりの角 $2 (β - α)$ の回転である。

別解。ベクトル $X = (x, y)$ に対して、 $f$ は $X \mapsto X - 2 (X \cdot P) P$ である。これは、原点を通り $O P$ に垂直な直線に関する対称移動である。同様に $g$ は、原点を通り $O Q$ に垂直な直線に関する対称移動である。これら2本の対称軸のなす角は $β - α$ であるから、2回の対称移動の合成は原点のまわりの角 $2 (β - α)$ の回転になる。

大阪大学 1990年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

大阪大学 1990年度
文系数学第4問