問題
点を通り，曲線に接する直線の方程式をすべて求めよ．
出典：大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
接点の 座標を とおき、接線の式が点 を通る条件を作る。曲線は なので、、 が同じ接線 を与えることに注意する。条件式を因数分解して接点候補を出し、最後に重複する直線を一つにまとめる。
解答
とおく。接点の 座標を とすると、接点は 、接線の傾きは である。接線が点 を通るための条件は である。
ここで だから
となる。したがって である。 のときも のときも、接点はそれぞれ 、 で傾きは であるから、接線はいずれも である。 のときは
である。よって接線は であり、整理して となる。
したがって求める直線は である。
別解。点 を通る直線を とおく。曲線との交点は で決まる。左辺を整理すると である。 なら直線は で、これは曲線に接する。 のときは での交わりは単なる通過なので、他の点で接するには が重解をもてばよい。そこで より候補は である。 は に戻る。 では である。したがって直線は となり、本解と同じ2本を得る。