大阪大学 1990年度
文系数学 第1問

解答

条件 (i) と (ii) より、点 $B,C,D$ は中心 $O$、半径 $1$ の円周上にある正三角形の頂点である。半径 $1$ の円に内接する正三角形の一辺は $2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$ であるから、正四面体 $ABCD$ の一辺は $AB=BC=\sqrt{3}$ である。

また、正三角形 $BCD$ の中心は $O$ である。正四面体の頂点 $A$ から底面 $BCD$ へ下ろした垂線の足も底面の中心なので、$A,O$ は底面に垂直な同一直線上にある。正三角形 $BCD$ の外接円半径は $1$ だから $A{O}^2=A{B}^2-O{B}^2=3-1=2$ より $AO=\sqrt{2}$ である。

次に、正四面体 $APQR$ の一辺を $l$ とおく。点 $P,Q,R$ は $A$ から距離 $l$ にあり、同時に $O$ から距離 $1$ にある。したがって、$P,Q,R$ は中心 $O$、半径 $1$ の球面と中心 $A$、半径 $l$ の球面との交わりの円上にある。

この交わりの円の中心を $H$ とし、$OH=x$、半径を $\rho$ とする。2つの球の中心を結ぶ直線は $AO$ であり、$H$ はその上にある。直角三角形から $x^2+{\rho }^2=1,(\sqrt{2}-x{)}^2+{\rho }^2=l^2$ である。二式を引くと $2-2\sqrt{2}x=l^2-1$ だから $x=\frac{3-l^2}{2\sqrt{2}}$ である。

一方、$PQR$ は一辺 $l$ の正三角形で、その外接円半径は $l/\sqrt{3}$ である。したがって $\rho =\frac{l}{\sqrt{3}}$ である。これを $x^2+{\rho }^2=1$ に代入して $\frac{l^2}{3}=1-{\left(\frac{3-l^2}{2\sqrt{2}}\right)}^2$ を得る。両辺を整理すると $3l^4-10l^2+3=0$ となる。よって $l^2=3,l^2=\frac{1}{3}$ である。

このうち $l^2=3$ は $APQR$ が $ABCD$ と同じ大きさになる場合であり、問題では2つの正四面体の大きさが異なるとされているので除く。したがって $AP=l=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。以上より $AB=\sqrt{3},AP=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。