大阪大学 1990年度
文系数学 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 面積計算、計算整理、範囲評価
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 16分
問題
aを−1<a<1を満たす定数としf(x)=(x2−1)(x−a)2とおく．関数y=f(x)のグラフとx軸によって囲まれた図形のうち，x≦aの範囲にある部分の面積をS1(a)，x≧aの範囲にある部分の面積をS2(a)とする．
(1) S1(a)+S2(a)を求めよ．
(2) 次のことを示せ．
−1<a<0のときS1(a)<S2(a)
a=0のときS1(a)=S2(a)
0<a<1のときS1(a)>S2(a)
出典：大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
−1<x<1 では x2−1<0 なので、面積の被積分関数は (1−x2)(x−a)2 になる。x=a は重解で符号を変えないが、面積を左右に分ける境界なので、S1 は [−1,a]、S2 は [a,1] の積分として扱う。(1) は全区間の積分で奇関数部分を消し、(2) は S1−S2 を計算して、−1<a<1 における符号を判定する。
解答
−1<a<1 であり、関数 f(x)=(x2−1)(x−a)2 の零点は x=−1,a,1 である。ただし x=a は重解である。また −1<x<1 では x2−1<0 だから、面積を表すときの被積分関数は −f(x)=(1−x2)(x−a)2 である。
(1)
したがって S1(a)+S2(a)=∫−11(1−x2)(x−a)2dx である。被積分関数を展開すると (1−x2)(x−a)2=x2−x4−2ax+2ax3+a2−a2x2 である。このうち奇関数部分の積分は [−1,1] で消えるので
S1(a)+S2(a)=∫−11{x2−x4+a2(1−x2)}dx=(32−52)+a2(2−32)=154+34a2=154(5a2+1)
である。
(2)
左右の差を調べる。計算しやすいように
S1(a)−S2(a)=∫−1a(1−x2)(x−a)2dx−∫a1(1−x2)(x−a)2dx
とおく。各積分を実行すると S1(a)−S2(a)=−15a(a4−10a2−15) である。
ここで −1<a<1 では a4−10a2−15<0 である。したがって S1(a)−S2(a) の符号は a の符号と同じである。よって −1<a<0ならS1(a)<S2(a), a=0ならS1(a)=S2(a), 0<a<1ならS1(a)>S2(a) である。
