大阪大学 1989年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ は正の定数とする． $t > 1$ に対し，曲線 $y = x^{a} lo g x$ 上の点 $P = (t, t^{a} lo g t)$ における接線が， $x$ 軸と交わる点を $Q$ とし，点 $(t, 0)$ を $R$ とする．三角形 $P QR$ の面積を $S_{1} (t)$ ，曲線 $y = x^{a} lo g x$ の $x ≧ 1$ の部分と，2つの直線 $y = 0$ ， $x = t$ とで囲まれた部分の面積を $S_{2} (t)$ とする． $t \to + \infty lim \frac{S _{2} ( t )}{S _{1} ( t )}$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

接線の $x$ 切片 $Q$ を求めるには、 $y = x^{a} lo g x$ の微分係数を使い、接線の式に $y = 0$ を代入する。三角形 $P QR$ は底辺 $R Q$ 、高さ $P R = t^{a} lo g t$ の直角三角形なので $S_{1} (t)$ が出る。 $S_{2} (t)$ は $\int_{1}^{t} x^{a} lo g x d x$ であり、部分積分で明示する。最後は $t^{a + 1} lo g t$ の主要部分を比較し、低い次数の項が比の極限に影響しないことを確認する。

解答

$y = x^{a} lo g x$ とおく。微分すると $y^{'} = a x^{a - 1} lo g x + x^{a - 1} = x^{a - 1} (a lo g x + 1)$ である。

点 $P = (t, t^{a} lo g t)$ における接線の傾きは $t^{a - 1} (a lo g t + 1)$ である。接線が $x$ 軸と交わる点を $Q = (q, 0)$ とすると、接線の傾きから $0 - t^{a} lo g t = t^{a - 1} (a lo g t + 1) (q - t)$ である。したがって $t - q = \frac{t l o g t}{a l o g t + 1}$ である。

三角形 $P QR$ は、底辺 $R Q = t - q$ 、高さ $P R = t^{a} lo g t$ の直角三角形である。よって $S_{1} (t) = \frac{1}{2} (t - q) t^{a} lo g t = \frac{t ^{a + 1} ( l o g t ) ^{2}}{2 ( a l o g t + 1 )}$ である。

次に $S_{2} (t) = \int_{1}^{t} x^{a} lo g x d x$ である。部分積分により $\int x^{a} lo g x d x = \frac{x ^{a + 1}}{a + 1} lo g x - \frac{x ^{a + 1}}{( a + 1 ) ^{2}}$ だから

S_{2} (t) = t^{a + 1} (\frac{lo g t}{a + 1} - \frac{1}{( a + 1 ) ^{2}}) + \frac{1}{( a + 1 ) ^{2}}

である。

したがって

\frac{S _{2} ( t )}{S _{1} ( t )} = \frac{2 ( a lo g t + 1 )}{t ^{a + 1} ( lo g t ) ^{2}} {t^{a + 1} (\frac{lo g t}{a + 1} - \frac{1}{( a + 1 ) ^{2}}) + \frac{1}{( a + 1 ) ^{2}}}

である。 $t \to + \infty$ のとき、主要な部分は

S_{2} (t) \sim \frac{t ^{a + 1} lo g t}{a + 1}, S_{1} (t) \sim \frac{t ^{a + 1} lo g t}{2 a}

である。ここで $a > 0$ である。よって $lim_{t \to + \infty} \frac{S _{2} ( t )}{S _{1} ( t )} = \frac{2 a}{a + 1}$ である。

大阪大学 1989年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

大阪大学 1989年度
理系数学第4問