大阪大学 1989年度
理系数学 第3問

解答

$AB$ の方向を基準に取る。長方形の辺 $AD$ が、$AB$ から三角形の外側へ角 $\beta$ だけ傾いているとする。このとき $B$ が辺 $DE$ 上にあるので、$AD$ の長さは $B$ の $AD$ 方向の成分に等しく、$AD=c\cos \beta$ である。また、$C$ が辺 $EF$ 上にあるので、$AF$ の長さは $C$ の $AF$ 方向の成分に等しい。$AC$ と $AD$ のなす角は $\theta +\beta$ だから $AF=b\sin (\theta +\beta )$ である。したがって、この向きの長方形の面積を $S(\beta )$ とすると $S(\beta )=bc\cos \beta \sin (\theta +\beta )$ である。

積和公式より $S(\beta )=\frac{bc}{2}\{\sin \theta +\sin (\theta +2\beta )\}$ である。したがって、どのような長方形に対しても $S(\beta )\leqq \frac{bc}{2}(1+\sin \theta )$ である。

あとは、この上限を実際に達成できることを確認する。 ${\beta }_0=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ とおくと $\theta +2{\beta }_0=\frac{\pi }{2}$ であり、上の面積は $\frac{bc}{2}(1+\sin \theta )$ になる。

この向きで本当に $B$ が辺 $DE$ 上、$C$ が辺 $EF$ 上に来ることを確かめる。三角形 $ABC$ は鋭角三角形であるから、角 $B$ が鋭角であることより $c>b\cos \theta$ であり、角 $C$ が鋭角であることより $b>c\cos \theta$ である。すなわち $\cos \theta <\frac{b}{c}<\frac{1}{\cos \theta }$ である。

一方、${\beta }_0=(\pi /2-\theta )/2$ について

である。$0<\sin \theta <1$ より $\tan {\beta }_0<\cos \theta <\frac{b}{c}<\frac{1}{\cos \theta }<\cot {\beta }_0$ が成り立つ。 $B$ が辺 $DE$ 上にあるためには、$B$ の $AF$ 方向の成分が $AF$ 以下、すなわち $c\sin {\beta }_0\leqq b\sin (\theta +{\beta }_0)$ であればよい。ここで $\theta +{\beta }_0=\pi /2-{\beta }_0$ なので、右辺は $b\cos {\beta }_0$ である。上の $b/c>\tan {\beta }_0$ からこの不等式は成り立つ。

同様に、$C$ が辺 $EF$ 上にあるためには $b\cos (\theta +{\beta }_0)\leqq c\cos {\beta }_0$ であればよい。左辺は $b\sin {\beta }_0$ であり、上の $b/c<\cot {\beta }_0$ からこの不等式も成り立つ。

したがって上限は実際に達成される。よって長方形 $ADEF$ の面積の最大値は $\frac{bc}{2}(1+\sin \theta )$ である。

別解。面積式を微分で調べてもよい。$S(\beta )=bc\cos \beta \sin (\theta +\beta )$ とすれば $S^{\prime }(\beta )=bc\cos (\theta +2\beta )$ である。したがって候補は $\theta +2\beta =\pi /2$ であり、その候補が鋭角条件により許されることを上と同じ不等式で確認すれば、最大値 $bc(1+\sin \theta )/2$ が得られる。