大阪大学 1989年度理系数学第2問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対して $x_{n} = r^{n} sin n θ$ $(ただし r > 0, 0 < θ < \frac{π}{2})$ とおく． $x_{1} = \frac{3}{4}$ ， $x_{2} = \frac{3}{8}$ であるとき $n = 1 \sum \infty x_{n}$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

与えられた $x_{1}, x_{2}$ から、 $r sin θ$ と $r cos θ$ を求める。 $x_{2} = r^{2} sin 2 θ = 2 (r sin θ) (r cos θ)$ なので $r cos θ = 1/4$ が得られ、 $r = 1/2$ となり無限和は収束する。和は三角関数の漸化式 $sin n θ = 2 cos θ sin (n - 1) θ - sin (n - 2) θ$ から、 $S (1 - 2 r cos θ + r^{2}) = r sin θ$ を導いて求める。

解答

まず $x_{1} = r sin θ = \frac{3}{4}$ である。また $x_{2} = r^{2} sin 2 θ = 2 (r sin θ) (r cos θ)$ であるから $2 \cdot \frac{3}{4} \cdot r cos θ = \frac{3}{8}$ となる。よって $r cos θ = \frac{1}{4}$ である。

したがって

r^{2} = (r sin θ)^{2} + (r cos θ)^{2} = (\frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{4}

である。 $r > 0$ なので $r = \frac{1}{2}$ である。特に無限和は収束する。 $S = \sum_{n = 1}^{\infty} r^{n} sin n θ$ とおく。三角関数の公式 $sin n θ = 2 cos θ sin (n - 1) θ - sin (n - 2) θ$ を用いると、 $n ≧ 2$ の部分について

S - r sin θ = n = 2 \sum \infty r^{n} sin n θ = 2 r cos θ n = 2 \sum \infty r^{n - 1} sin (n - 1) θ - r^{2} n = 2 \sum \infty r^{n - 2} sin (n - 2) θ = 2 r cos θ S - r^{2} S

である。最後の和では $sin 0 = 0$ を用いた。したがって $S (1 - 2 r cos θ + r^{2}) = r sin θ$ となり、 $S = \frac{r s i n θ}{1 - 2 r c o s θ + r ^{2}}$ である。

ここに

r sin θ = \frac{3}{4}, r cos θ = \frac{1}{4}, r^{2} = \frac{1}{4}

を代入すると

S = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{3}

である。

別解。 $r sin θ = 3 /4$ , $r cos θ = 1/4$ から、 $r = 1/2$ , $θ = π /3$ と分かる。したがって $x_{n} = (\frac{1}{2})^{n} sin \frac{nπ}{3}$ であり、 $sin (nπ /3)$ の周期6を使って6項ずつまとめても同じ和 $3 /3$ が得られる。

大阪大学 1989年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

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理系数学第2問