大阪大学 1988年度後期・文系数学第4問解答・解説

問題

$a$ は実数とし， $S_{0}$ ， $S_{a}$ をそれぞれ点 $(0, 0, 0)$ ， $(a, 0, 0)$ を中心とする半径1の球（内部を含む）とする． $S_{0}$ と $S_{a}$ の共通部分の体積 $V (a)$ を $a$ を用いて表し，そのグラフをかけ．

出典：大阪大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第4問

方針

中心間距離を $d = ∣ a ∣$ とおく。 $d \geq 2$ では共通部分の体積は0。 $0 \leq d \leq 2$ では、両球の交わる平面が中点 $x = d /2$ にあり、共通部分は高さ $h = 1 - d /2$ の合同な球冠2個からなる。球冠体積を断面積の積分で導き、 $d = ∣ a ∣$ を戻してグラフの対称性と端点を示す。

解答

中心間距離を $d = ∣ a ∣$ とする。 $d \geq 2$ のとき2球の内部は重ならず、接する $d = 2$ の場合も共通部分の体積は0なので $V (a) = 0$ である。

$0 \leq d \leq 2$ とする。座標軸を2中心を結ぶ向きにとると、2球の表面が交わる円は中心間の中点の平面上にある。したがって共通部分は、高さ

h = 1 - \frac{d}{2}

の合同な球冠2個からなる。

半径1、高さ $h$ の球冠の体積を求める。球の中心を原点とし、 $x = 1 - h$ から $x = 1$ まで切ると、断面円の面積は $π (1 - x^{2})$ だから

W (h) = π \int_{1 - h}^{1} (1 - x^{2}) d x = π h^{2} (1 - \frac{h}{3}) .

よって

V (a) = 2 π (1 - \frac{d}{2})^{2} {1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{d}{2})} = \frac{π}{12} (4 + d) (2 - d)^{2} (0 \leq d \leq 2) .

$d = ∣ a ∣$ を戻すと

V (a) = {\frac{π}{12} (4 + ∣ a ∣) (2 - ∣ a ∣)^{2}, 0, ∣ a ∣ \leq 2, ∣ a ∣ \geq 2.

である。グラフは $y$ 軸対称で、 $V (0) = 4 π /3$ を最大値とし、 $a = \pm 2$ で0になり、 $∣ a ∣ \geq 2$ では $a$ 軸上に一致する。 $0 < ∣ a ∣ < 2$ では $∣ a ∣$ の増加とともに単調に減少する。

大阪大学 1988年度後期・文系数学 第4問

問題

方針

解答

大阪大学 1988年度
後期・文系数学第4問