大阪大学 1988年度後期・文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上の3点 $A (0, 3)$ ， $B (- 1, 0)$ ， $C (1, 0)$ を頂点とする正三角形 $A B C$ の辺 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 上にそれぞれ点 $D$ ， $E$ ， $F$ があり， $B D = C E = A F$ を満たしている．

(1) $B D = t$ のとき， $E$ と $F$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(2) $△ D E F$ の面積が最小となるときの点 $D$ の座標を求めよ．

出典：大阪大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第3問

方針

各辺の長さは2なので $0 \leq t \leq 2$ 。 $C$ から $A$ 、 $A$ から $B$ への単位方向ベクトルを使って $E, F$ を表す。(2)は $D = (- 1 + t, 0)$ と合わせ、2本の辺ベクトルの行列式から面積を $t$ の二次式にする。平方完成で最小点を求める。

解答

(1)

$C A = A B = 2$ である。 $C$ から $A$ への単位方向ベクトルは $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ だから

E = C + t (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1 - \frac{t}{2}, \frac{3}{2} t) .

また $A$ から $B$ への単位方向ベクトルは $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ だから

F = A + t (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}) = (- \frac{t}{2}, 3 (1 - \frac{t}{2})) .

(2)

$D = (- 1 + t, 0)$ である。 $D E$ と $D F$ の成分を用いて三角形の面積を計算すると

[D E F] = \frac{1}{2} (2 - \frac{3 t}{2}) 3 (1 - \frac{t}{2}) - \frac{3 t}{2} (1 - \frac{3 t}{2}) = \frac{3}{4} (3 t^{2} - 6 t + 4) = \frac{3}{4} {3 (t - 1)^{2} + 1} .

$0 \leq t \leq 2$ であるから、この面積は $t = 1$ のとき最小になる。そのとき

D = (- 1 + 1, 0) = (0, 0) .

したがって求める点は $D (0, 0)$ である。

大阪大学 1988年度後期・文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1988年度
後期・文系数学第3問