大阪大学 1988年度後期・文系数学第2問解答・解説

問題

$p$ ， $q$ は正の整数とし，2次方程式 $x^{2} - p x - q = 0$ の2つの実数解を $α$ ， $β$ とする． $A_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおくとき，すべての正の整数 $n$ について次のことが成り立つことを示せ．

(1) $A_{n}$ は整数である．

(2) $A_{3 n} - A_{n}^{3}$ は3で割り切れる．

出典：大阪大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第2問

方針

各根が $u^{2} = p u + q$ を満たすことから、 $A_{n}$ の整数係数漸化式を作る。(1)は初期値と漸化式で帰納する。(2)は $u^{3} + v^{3} = (u + v)^{3} - 3 uv (u + v)$ を $u = α^{n}, v = β^{n}$ に適用し、 $α β = - q$ を使う。

解答

解と係数の関係より $α + β = p$ 、 $α β = - q$ である。また各根 $u = α, β$ は $u^{2} = p u + q$ を満たす。

(1)

$n \geq 2$ のとき、上の式に $u^{n - 2}$ を掛けて $u^{n} = p u^{n - 1} + q u^{n - 2}$ を得る。 $u = α, β$ について加えると

A_{n} = p A_{n - 1} + q A_{n - 2}

である。初期値は $A_{0} = 2$ 、 $A_{1} = α + β = p$ で、どちらも整数である。したがってこの漸化式により、数学的帰納法で全ての $n \geq 0$ に対して $A_{n}$ は整数である。

(2)

恒等式 $u^{3} + v^{3} = (u + v)^{3} - 3 uv (u + v)$ に $u = α^{n}, v = β^{n}$ を代入すると

A_{3 n} = A_{n}^{3} - 3 (α β)^{n} A_{n} = A_{n}^{3} - 3 (- q)^{n} A_{n} .

よって

A_{3 n} - A_{n}^{3} = - 3 (- q)^{n} A_{n} .

(1)より $A_{n}$ は整数であり、 $q$ も整数だから、右辺は3の倍数である。したがって $A_{3 n} - A_{n}^{3}$ は3で割り切れる。

大阪大学 1988年度後期・文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1988年度
後期・文系数学第2問