大阪大学 1988年度後期・文系数学第1問解答・解説

問題

$n$ は正の整数とする．

(1) 10円玉と50円玉を組み合わせて合計 $50 \times n$ 円にするには $(n + 1)$ 通りの方法があることを示せ．

(2) 10円玉，50円玉，100円玉を組み合わせて合計 $100 \times n$ 円にするには何通りの方法があるか．

(3) 10円玉，50円玉，100円玉，500円玉を組み合わせて合計1万円にするには何通りの方法があるか．

出典：大阪大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第1問

硬貨の枚数を非負整数で置き、金額を10円単位にする。(1)は50円玉の枚数を固定する。(2)は100円玉の枚数を固定して(1)型の数を足す。(3)は500円玉の枚数を固定すると(2)で $n = 100 - 5 w$ とした場合になり、平方和まで計算する。

10円玉、50円玉の枚数をそれぞれ $x, y$ とする。 $x + 5 y = 5 n$ であり、 $y$ は $0, 1, \dots, n$ のいずれかである。各 $y$ に対して $x = 5 n - 5 y$ は一意に定まるので、方法は $n + 1$ 通りである。

100円玉の枚数を $z$ とすると $0 \leq z \leq n$ である。 $z$ を固定したとき

x + 5 y = 10 (n - z)

だから、 $y = 0, 1, \dots, 2 (n - z)$ の $2 (n - z) + 1$ 通りである。よって全体は

z = 0 \sum n {2 (n - z) + 1} = k = 0 \sum n (2 k + 1) = (n + 1)^{2}

通りである。

500円玉の枚数を $w$ とすると $0 \leq w \leq 20$ である。 $w$ を固定した残額は $10000 - 500 w = 100 (100 - 5 w)$ 円なので、(2)より方法は $(101 - 5 w)^{2}$ 通りである。したがって総数は

w = 0 \sum 20 (101 - 5 w)^{2} .

$k = 20 - w$ と置き換えると

k = 0 \sum 20 (5 k + 1)^{2} = 25 k = 0 \sum 20 k^{2} + 10 k = 0 \sum 20 k + 21 = 25 \cdot 2870 + 10 \cdot 210 + 21 = 73871.

よって答えは (1) $n + 1$ 通り、(2) $(n + 1)^{2}$ 通り、(3) $73871$ 通りである。