問題
原点で平面に接し，平面に関して点と同じ側にある半径2の球をとする．球の中心をとし，点を考える．
(1) ベクトル，の内積および三角形の面積を求めよ．
(2) 2点，を通る直線ととの共有点の座標を求めよ．
出典：大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
球は 平面、すなわち に原点で接しているので、半径2と点 の側の条件から中心 を先に決める。内積は座標差から直接計算し、三角形の面積は2辺の長さと内積から求める。直線 と球の共有点は、直線を1つの実数 で表して球の方程式へ代入し、重解になることまで確認して座標を出す。
解答
球は 平面、つまり に原点で接している。半径が2で、点 と同じ側にあるから、中心は である。
(1)
である。したがって内積は
である。
次に三角形 の面積を とする。2辺の長さと内積を用いると
である。ここで
だから となる。よって であり、 である。
(2)
直線 上の点を とおく。すなわち である。球面の方程式は なので、代入すると である。左辺を整理して すなわち を得る。これは であるから である。したがって共有点は
である。なお方程式が重解になるので、この直線は球に接しており、共有点は1点である。