大阪大学 1987年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a > 0$ とし，行列 $(2 a 01)$ の表す1次変換を $f$ とする．曲線 $C : y = x^{2}$ が $f$ によってうつる図形を $C^{'}$ とする．

(1) $C^{'}$ の方程式を求めよ．

(2) $C$ と $C^{'}$ で囲まれた部分の面積が1となるような $a$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

一次変換後の点を新しい座標で置き、元の放物線 $y = x^{2}$ の条件を代入して $C^{'}$ の方程式を作る。面積は元の $C$ と得られた $C^{'}$ の交点を先に求め、どちらが上側かを確認してから差を積分する。最後は面積が $a^{3} /27$ になるので、 $a > 0$ の条件で一意に $a$ を決める。

解答

(1)

元の点を $(x, y)$ 、変換後の点を $(X, Y)$ とする。行列の定める変換より $X = 2 x, Y = a x + y$ である。 $C$ 上では $y = x^{2}$ だから、 $x = \frac{X}{2}$ を代入して

Y = a \cdot \frac{X}{2} + (\frac{X}{2})^{2} = \frac{a}{2} X + \frac{1}{4} X^{2}

となる。したがって、変換後の座標をふたたび $(x, y)$ と書けば $C^{'} : y = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{a}{2} x$ である。

(2)

交点は $x^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{a}{2} x$ より

\frac{3}{4} x^{2} - \frac{a}{2} x = 0, x (\frac{3}{4} x - \frac{a}{2}) = 0

である。したがって $x = 0, x = \frac{2 a}{3}$ を得る。 $0 < x < \frac{2 a}{3}$ では

(\frac{x ^{2}}{4} + \frac{a}{2} x) - x^{2} = \frac{a}{2} x - \frac{3}{4} x^{2} = x (\frac{a}{2} - \frac{3}{4} x) > 0

であるから、上側は $C^{'}$ 、下側は $C$ である。よって囲まれた部分の面積は

\int_{0}^{\frac{2 a}{3}} (\frac{a}{2} x - \frac{3}{4} x^{2}) d x = [\frac{a}{4} x^{2} - \frac{1}{4} x^{3}]_{0}^{\frac{2 a}{3}}

である。これを計算すると

\frac{a}{4} \cdot \frac{4 a ^{2}}{9} - \frac{1}{4} \cdot \frac{8 a ^{3}}{27} = \frac{a ^{3}}{9} - \frac{2 a ^{3}}{27} = \frac{a ^{3}}{27}

となる。面積が1であるから $\frac{a ^{3}}{27} = 1$ であり、 $a > 0$ より $a = 3$ である。

大阪大学 1987年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1987年度
文系数学第2問