問題
自然数の列は等比数列であるとし
とおく．
(1) 整数は整数で割り切れ，その商はとなることを示せ．
(2) が素数となる場合のの値を求めよ．
出典：大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
公比をただちに整数と決めず、正の有理数として扱う。まず5項用の恒等式から を示し、商 が整数であることまで確認する。素数条件では なので が必要になり、既約分数で表した公比から自然数等比数列の一般形を書いて、交代和が1になる場合を絞り込む。最後に、全項が1のときだけ候補になり、そのとき で確かに素数になることを確認する。
解答
(1)
公比を とおく。各項は自然数であるから は正の有理数であるが、以下の恒等式はそのまま使える。 また である。したがって を得る。ここで と はどちらも整数で、 である。よって は整数 で割り切れ、その商は である。
(2)
(1)より である。5項はいずれも自然数なので であり、 が素数なら、正の整数の積の分解 において でなければならない。
公比を既約分数 とおく。ただし は互いに素な自然数である。5項すべてが自然数であるため、ある自然数 を用いて
と表せる。このとき である。
ここで となる場合を調べる。もし なら である。もし なら である。したがって となるには が必要で、互いに素であることから である。さらに より である。
よって に限られる。このとき であり、これは素数である。したがって求める値は である。
別解。 は公比を明示しなくても示せる。、 とおくと、、 である。等比数列の性質より
が成り立つ。したがって となり、同じ結論を得る。