問題
とし，とおく．
(1) 関数が極大値をとるの値と，極小値をとるの値を求めよ．
(2) 点および点を2頂点とする正三角形の重心をとする．がすべての正の数を動くとき，の描く図形を図示せよ．
(3) 重心が曲線上にあるとき，の値を求めよ．
出典：大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まず微分して極大点と極小点を決めると、点 は を用いて簡単に表せる。線分 の中点が原点になるので、正三角形の第3頂点は を90度回した方向に長さを合わせて求める。重心はその第3頂点の3分の1になり、 によって2本の半直線が軌跡になる。最後は2通りの重心を に代入し、 の2次方程式として解く。
解答
(1)
である。 なので であり、 の符号は の符号で決まる。したがって で極大値をとり、 で極小値をとる。ゆえに である。
(2)
とおく。すると である。線分 の中点は原点であり、 である。 を一辺とする正三角形の第3頂点を とする。中点から へ向かうベクトルは、 に垂直で、長さが である。したがって である。
また だから、重心 は の座標を3で割った点である。よって
である。ここで であるから、 の描く図形は および の2本の半直線である。端点 は のため含まれない。
(3)
まず の場合を調べる。この点が 上にあるための条件は
である。右辺を整理すると
なので、両辺を で割って を得る。すなわち である。
もう一方の重心 を代入しても、 が奇関数型の式 であるため同じ条件になる。ここで とおくと である。よって となる。 より負の値は除かれるから である。