大阪大学 1986年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$P=(0,u,v)$ とおく。$P$ は $u^2+v^2=2,u\leqq 0$ を満たす。三角形 $PAB$ の内部および周上の点は，$\lambda ,\mu ,{\nu }_1\geqq 0$，$\lambda +\mu +{\nu }_1=1$ を用いて $\lambda P+\mu A+{\nu }_{1}B$ と表せる。座標で書くと $(x,y,z)=\lambda (0,u,v)+\mu (1,1,0)+{\nu }_1(-1,1,0)$ である。

平面 $x=t$ で切るので $\mu -{\nu }_1=t$ である。$\mu ,{\nu }_1\geqq 0$ であるためには $\mu +{\nu }_1\geqq |t|$ が必要であり，逆にこの条件を満たせば $\mu$，${\nu }_1$ を選べる。ここで $s=\lambda =1-\mu -{\nu }_1$ とおくと $0\leqq s\leqq 1-|t|$ である。したがって切り口を $yz$ 平面上で見ると，その点は $(y,z)=(1-s+su,sv)=(1,0)+s\{(u,v)-(1,0)\}$ と表される。

つまり，平面 $x=t$ による切り口は，$yz$ 平面内で点 $(1,0)$ と半円 $u^2+v^2=2,u\leqq 0$ の各点を結ぶ線分全体のうち，点 $(1,0)$ からの比が $1-|t|$ 以下の部分である。特に $|t|>1$ では切り口は空であり，$|t|\leqq 1$ では，$t=0$ の切り口を点 $(1,0)$ を中心として比 $1-|t|$ で縮小した図形である。

より具体的には，$\rho =1-|t|$ とおくと，境界は点 $(1,0)$ から $(|t|,\sqrt{2}\rho ),(|t|,-\sqrt{2}\rho )$ へ引いた二つの線分と，円 $(y-|t|{)}^2+z^2=2{\rho }^2$ のうち $y\leqq |t|$ の半円弧で囲まれる図形である。

(2)

まず $t=0$ の切り口の面積を求める。これは半径 $\sqrt{2}$ の左半円部分と，頂点 $(1,0)$，$(0,\sqrt{2})$，$(0,-\sqrt{2})$ をもつ三角形からなる。半円の面積は $\frac{1}{2}\pi (\sqrt{2}{)}^2=\pi$ であり，三角形の面積は，底辺 $2\sqrt{2}$，高さ $1$ だから $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$ である。よって $t=0$ の切り口の面積は $\pi +\sqrt{2}$ である。

(1)

より，平面 $x=t$ での切り口はこの図形を比 $1-|t|$ で縮小したものなので，その面積は $(1-|t|{)}^2(\pi +\sqrt{2})$ である。したがって体積は

である。よって $\frac{2}{3}(\pi +\sqrt{2})$ である。