問題
(1) は無理数であることを証明せよ．
(2) ，は無理数で，が有理数であるような数の組，を求めよ．
出典：大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1) は を有理数と仮定し，指数の等式 に直して素因数の違いに矛盾させる。(2) は (1) の結果を利用して，無理数の指数をあらかじめ作る。 とすれば無理数であり，底を にすると が の指数計算に戻って有理数になる。
解答
(1)
が有理数であると仮定する。 であるから，正の整数 を用いて と書ける。両辺を底 の指数に直すと であり，両辺を 乗して を得る。ところが は素因数として だけをもち， は素因数として だけをもつ。正の整数がこの二つの形に同時になることはない。これは矛盾である。
したがって が示された。
(2)
例えば とおく。 は無理数であり， は (1) より無理数である。このとき である。ここで だから となる。よって は求める条件を満たす一例である。
別解。存在だけを示すなら，次の有名な作り方もある。 とおく。もし が有理数なら ， とすれば は有理数である。もし が無理数なら ， とすれば である。どちらの場合にも，無理数 で が有理数となる組が得られる。