大阪大学 1986年度理系数学第3問解答・解説

問題

正の数 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， $θ_{3}$ ， $θ_{4}$ ， $θ_{5}$ が $θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} + θ_{4} + θ_{5} = 2 π$ を満たしながら変わるとき

sin θ_{1} + sin θ_{2} + sin θ_{3} + sin θ_{4} + sin θ_{5}

の最大値を，次の手順で求めよ．

(1) $α < 2 π$ を満たす正の数 $α$ を決める． $θ_{1} + θ_{2} = α$ のとき， $sin θ_{1} + sin θ_{2}$ の最大値を求めよ．

(2) $β < 2 π$ を満たす正の数 $β$ を決める． $θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} + θ_{4} = β$ のとき， $sin θ_{1} + sin θ_{2} + sin θ_{3} + sin θ_{4}$ の最大値を $θ_{5}$ で表せ．

(3) $sin θ_{1} + sin θ_{2} + sin θ_{3} + sin θ_{4} + sin θ_{5}$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

誘導に従い，固定した和をもつ正弦和の最大化を二つずつ処理する。(1) では加法定理から，和が固定なら二つの角が等しいとき最大になることを示す。(2) では四つを二組に分け，二組の和も等しいとき最大になることを確認する。(3) では $θ_{5} = t$ として，残り四つの最大値 $4 cos (t /4)$ と $sin t$ の和を一変数で最大化する。

解答

(1)

$θ_{1} + θ_{2} = α$ とする。加法定理より

sin θ_{1} + sin θ_{2} = 2 sin \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2} cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2}

である。 $0 < α < 2 π$ なので $sin (α /2) > 0$ である。したがって最大にするには $cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2}$ を最大にすればよい。これは $θ_{1} = θ_{2}$ のとき最大値1をとる。よって最大値は $2 sin \frac{α}{2}$ であり，そのとき $θ_{1} = θ_{2} = \frac{α}{2}$ である。

(2)

$θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} + θ_{4} = β$ とし， $γ = θ_{1} + θ_{2}$ とおく。このとき $0 < γ < β$ であり，(1) より $sin θ_{1} + sin θ_{2} ≦ 2 sin \frac{γ}{2}$ かつ $sin θ_{3} + sin θ_{4} ≦ 2 sin \frac{β - γ}{2}$ である。したがって四つの正弦和は $2 sin \frac{γ}{2} + 2 sin \frac{β - γ}{2}$ 以下である。さらに和積公式を使うと

2 sin \frac{γ}{2} + 2 sin \frac{β - γ}{2} = 4 sin \frac{β}{4} cos (\frac{γ}{2} - \frac{β}{4})

となる。 $0 < β < 2 π$ より $sin (β /4) > 0$ なので，最大は $γ = \frac{β}{2}$ のときであり，その最大値は $4 sin \frac{β}{4}$ である。

ここで $β = 2 π - θ_{5}$ だから，最大値を $θ_{5}$ で表すと $4 sin \frac{2 π - θ _{5}}{4} = 4 cos \frac{θ _{5}}{4}$ である。

(3)

$t = θ_{5}$ とおく。 $0 < t < 2 π$ であり，(2) より，この $t$ に対する五つの正弦和の最大値は $F (t) = 4 cos \frac{t}{4} + sin t$ である。これを最大化すればよい。

微分すると $F^{'} (t) = - sin \frac{t}{4} + cos t$ である。方程式 $F^{'} (t) = 0$ は $cos t = sin \frac{t}{4}$ である。 $0 < t < π$ では， $cos t$ は1から $- 1$ へ減少し， $sin (t /4)$ は0から $sin (π /4)$ へ増加するので，解は高々一つである。実際 $t = \frac{2 π}{5}$ では $cos \frac{2 π}{5} = sin \frac{π}{10}$ であるから解になっている。

また， $π ≦ t ≦ 3 π /2$ では $cos t ≦ 0$ ， $sin (t /4) > 0$ なので $F^{'} (t) < 0$ である。さらに $3 π /2 < t < 2 π$ では $u = 2 π - t$ とおくと $0 < u < π /2$ で

cos t = cos u, sin \frac{t}{4} = sin (\frac{π}{2} - \frac{u}{4}) = cos \frac{u}{4}

であり， $0 < u /4 < u < π /2$ だから $cos u < cos \frac{u}{4}$ となる。よってこの範囲でも $F^{'} (t) < 0$ である。

以上より， $F (t)$ は $0 < t < 2 π /5$ で増加し， $2 π /5 < t < 2 π$ で減少する。したがって最大は $t = \frac{2 π}{5}$ で生じる。このとき (2) の等号条件から残り四つも $θ_{1} = θ_{2} = θ_{3} = θ_{4} = \frac{2 π - t}{4} = \frac{2 π}{5}$ となる。よって五つの角がすべて $2 π /5$ のとき最大であり，最大値は $5 sin \frac{2 π}{5}$ である。

大阪大学 1986年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1986年度
理系数学第3問