問題
平面内の曲線，上の相異なる2点，（ただし，）に対し，とおく．
いま，点，が，との面積の比が一定値，すなわちであるように曲線上を動くとき，点，における曲線の接線の交点の軌跡を求めよ．ただし，は原点である．
出典：大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
まず二つの三角形の面積を で表し，面積比の条件から が一定であることを導く。次に の接線を で求め， の二本の交点 を計算する。最後に を消去して を だけの式にし，逆にその曲線上の各点が実際に得られることも確認する。
解答
まず面積比を計算する。，， であり， だから， は直角三角形である。その面積は
である。
一方， の作る三角形の面積は行列式で
である。したがって
となる。特に であり， である。
次に，曲線 の における接線を求める。導関数は なので，接線は すなわち である。 における接線と における接線の交点を とする。二本の接線の式から である。移項して
となる。 なので整理すると である。これを接線の式へ代入して を得る。
よって である。ここで とおくと であり， を代入して となる。
したがって の軌跡は である。
逆に，この曲線上の任意の点 に対し， として とおけば であり，上の計算により接線の交点は になる。よって正の枝全体が実際の軌跡である。