問題
曲線と直線（ただし，）があり，との交点をとする．
とと軸によって囲まれた図形を軸のまわりに回転してできる回転体の体積をとし，を通り軸に平行な直線とおよび軸によって囲まれた図形を軸のまわりに回転してできる回転体の体積をとする．となるを求めよ．
出典：大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
交点 は 座標を とおくと，曲線上で と表せる。直線の式へ代入すると となり，直線と 軸の交点も とわかる。回転体は 軸に垂直な断面で見る。 は直線下の回転体， は曲線下全体からその直線下の部分を引いたものとして表し， を で解く。
解答
交点 の 座標を とおく。 は 上にあるので， の 座標は である。これを直線 に代入すると である。よって となる。 だから である。
また，直線 と 軸の交点は より である。したがって直線は と書け， で 軸より上にある。
まず を求める。 は から までの直線下の図形を 軸のまわりに回転したものなので である。
次に を求める。 の下の全体を から まで回転した体積は である。 はそこから， にある直線下の回転体を除いたものだから である。
条件 は すなわち である。ここで だから ，また である。したがって右辺は となる。よって であり， なので を得る。したがって である。最後に より となる。以上から である。