問題
行列，がある．，がいずれも逆行列をもたないとすれば，は回転を表す行列であることを示せ．ただし，，，は実数とする．
出典：大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
逆行列をもたないことを行列式が0であることに言い換える。 と の二つの行列式を並べると，差を取るだけで が出る。これで は の形になる。残った式から を得れば， と を三角比で表せるので，回転行列の形になる。
解答
， がいずれも逆行列をもたないので，それぞれの行列式は0である。
まず
より である。また
より である。
この二式の右辺を比べると である。両辺を展開して となるから を得る。
これを に代入すると である。すなわち であり， が成り立つ。
したがって，ある実数 を用いて と書ける。このとき であるから
となる。これは原点を中心に角 だけ回転する行列である。よって は回転を表す行列である。
別解。， まで得た後は，列ベクトルで確認してもよい。第1列 ，第2列 はどちらも長さ1で，内積は である。さらに行列式は なので，向きを反転せず，長さと直角を保つ。したがってこの変換は回転である。