大阪大学 1986年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数と式
- 解法
- 剰余分類、式変形、文字消去
- 難易度
- 4 / 10 計算量 3 / 10 目安 8〜10分
問題
f(x)はxの3次以上の整式であるとする．f(x)を(x−1)3で割れば余りはax2+bx+cであり，x−2で割れば余りはdであるという．f(x)を(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ．
出典：大阪大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
求める余りは (x−1)(x−2) より次数が1以下なので，R(x)=px+q とおける。割る式の零点 x=1,2 では，f(x)−R(x) が0になるため，R(1)=f(1)，R(2)=f(2) を満たせばよい。(x−1)3 で割った余りから f(1) を読み，x−2 で割った余りから f(2) を読む。最後は2点を通る一次式を求める。
解答
求める余りを R(x)=px+q とおく。(x−1)(x−2) で割った余りであるから，f(x)−R(x) は x=1 と x=2 で0になる。したがって R(1)=f(1),R(2)=f(2) である。
まず，f(x) を (x−1)3 で割った商を Q(x) とすれば f(x)=(x−1)3Q(x)+ax2+bx+c と書ける。ここに x=1 を代入すると，第一項は消えるので f(1)=a+b+c である。
また，x−2 で割った余りが d であるから，剰余定理より f(2)=d である。よって p+q=a+b+c,2p+q=d を得る。二式を引いて p=d−a−b−c であり，これを p+q=a+b+c に戻すと q=2(a+b+c)−d である。したがって求める余りは (d−a−b−c)x+2(a+b+c)−d である。
別解。2点 x=1,2 での値だけから一次式を直接補間してもよい。R(1)=a+b+c，R(2)=d であるから R(x)=−(a+b+c)(x−2)+d(x−1) であり，展開すると同じく R(x)=(d−a−b−c)x+2(a+b+c)−d を得る。
