大阪大学 1986年度文系数学第2問解答・解説

問題

数列 $x_{1}, x_{2}, \dots\dots$ を次のように定義する．

x_{1} = 2, x_{n + 1} = \frac{x _{n} ^{2} + 5}{2 x _{n}} (n = 1, 2, \dots\dots)

このとき， $0 < x_{n} - 5 < \frac{1}{2 ^{n}}$ $(n = 2, 3, \dots\dots)$ を示せ．

出典：大阪大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$5$ との差を誤差として追う。まず $x_{2} = 9/4$ で主張の初期段階を確認する。次に $x_{n} > 5$ と仮定すると， $x_{n + 1} - 5$ は $(x_{n} - 5)^{2} / (2 x_{n})$ と平方の形になる。これにより正であることが保たれ，さらに $x_{n} > 2$ を使って上から抑える。帰納法では，上界だけでなく正であることも同時に引き継ぐ。

解答

まず第2項を計算する。 $x_{2} = \frac{2 ^{2} + 5}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4}$ である。 $(9/4)^{2} = 81/16 > 5$ だから $x_{2} > 5$ であり，また $5 > 2$ より $0 < x_{2} - 5 < \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2 ^{2}}$ である。したがって $n = 2$ では成り立つ。

次に，ある $n ≧ 2$ で $0 < x_{n} - 5 < \frac{1}{2 ^{n}}$ が成り立つと仮定する。このとき特に $x_{n} > 5 > 0$ である。漸化式から

x_{n + 1} - 5 = \frac{x _{n}^{2} + 5}{2 x _{n}} - 5 = \frac{x _{n}^{2} - 2 5 x _{n} + 5}{2 x _{n}} = \frac{( x _{n} - 5 ) ^{2}}{2 x _{n}}

である。右辺は正なので $x_{n + 1} > 5$ である。

さらに $x_{n} > 5 > 2$ より $2 x_{n} > 4$ であるから

0 < x_{n + 1} - 5 = \frac{( x _{n} - 5 ) ^{2}}{2 x _{n}} < \frac{( x _{n} - 5 ) ^{2}}{4}

である。帰納法の仮定から $0 < x_{n} - 5 < 1/ 2^{n} ≦ 1/4 < 1$ なので

\frac{( x _{n} - 5 ) ^{2}}{4} < \frac{x _{n} - 5}{4} < \frac{1}{2 ^{n + 2}} < \frac{1}{2 ^{n + 1}}

が従う。したがって $0 < x_{n + 1} - 5 < \frac{1}{2 ^{n + 1}}$ である。

以上より，数学的帰納法によって $0 < x_{n} - 5 < \frac{1}{2 ^{n}} (n = 2, 3, \dots)$ が成り立つ。

大阪大学 1986年度文系数学 第2問

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大阪大学 1986年度
文系数学第2問