大阪大学 1985年度
文系数学 第4問

解答

(1)

点 $P_0{P}_1$ を通る直線の方向ベクトルは

である。点 $P_0$ の位置ベクトルとこの方向ベクトルで作る平行四辺形の面積は $|x_0(y_1-y_0)-y_0(x_1-x_0)|=|x_0{y}_1-y_0{x}_1|$ である。

一方、この面積は $\text{底辺の長さ }|P_0{P}_1|\times \text{原点から直線 }{P}_0{P}_1\text{ までの距離}$ でもある。したがって $d=\frac{|x_0{y}_1-y_0{x}_1|}{\sqrt{(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2}}$ である。

(2)

点 $P_0,P_1$ は円の内部にあり、互いに異なるので、直線 $P_0{P}_1$ は円 $C$ と2点で交わる。その2点を、光の進む向きに $A_0,A_1$ とする。問題文の最初の反射点は $A_1$ である。以後の反射点を $A_2,A_3,\dots$ とすれば、光の進路は弦 $A_0{A}_1,A_1{A}_2,A_2{A}_3,\dots$ の列として表される。

円の接線は半径に垂直である。したがって、反射の法則で入射角と反射角が等しいことは、点 $A_i$ で半径 $O{A}_i$ と弦 $A_{i-1}{A}_i$、$A_i{A}_{i+1}$ が作る角が等しいことと同じである。すると、三角形 $O{A}_{i-1}{A}_i$ と $O{A}_i{A}_{i+1}$ はともに半径1を2辺にもつ二等辺三角形で、頂点 $A_i$ における半径との角が等しい。よって対応する中心角も等しく、すべての弦 $A_i{A}_{i+1}$ は原点から同じ距離にある。

初めの弦 $A_0{A}_1$ は直線 $P_0{P}_1$ 上にあるので、その原点からの距離は $d$ である。よってすべての弦 $A_i{A}_{i+1}$ も原点から距離 $d$ にある。

ここで $0\leqq d<1$ であるから、ただ1つの $\theta$ が $0<\theta \leqq \frac{\pi }{2},d=\cos \theta$ を満たす。半径1の円で、中心から距離 $d$ にある弦の中心角は $2\theta$ である。したがって、反射点を円周上の向きに沿って見れば、点 $A_i$ の偏角は毎回 $2\theta$ ずつ進む。

光がある時間後にふたたび線分 $P_0{P}_1$ 上を $P_0$ から $P_1$ の向きに進むことは、ある正の整数 $m$ について、弦 $A_m{A}_{m+1}$ が初めの弦 $A_0{A}_1$ と同じ向きで一致することと同値である。偏角でいえば、これは $2m\theta =2N\pi$ を満たす整数 $N$ が存在することと同値である。すなわち $\frac{\theta }{\pi }=\frac{N}{m}$ が有理数であることと同値である。

したがって、光が元の向きで線分 $P_0{P}_1$ 上を進むためには、ある有理数 $q$ が存在して $\theta =q\pi$ すなわち $d=\cos (q\pi )$ でなければならない。

逆に、ある有理数 $q$ について $d=\cos (q\pi )$ と書けるとする。$d\geqq 0$ なので、必要なら $q$ を取り直して $0<q\leqq 1/2$ としてよい。$q=N/m$ と表せば、$\theta =q\pi$ について $2m\theta =2N\pi$ が成り立つ。よって $m$ 回分だけ弦を進めると、弦 $A_m{A}_{m+1}$ は初めの弦 $A_0{A}_1$ と同じ向きで一致する。したがって光は再び線分 $P_0{P}_1$ 上を $P_0$ から $P_1$ の向きに進む。

以上より、求める必要十分条件は $\text{ある有理数 }q\text{ が存在して }d=\cos (q\pi )\text{ となること}$ である。