大阪大学 1985年度
文系数学 第2問

解答

与えられた1次変換の行列を

とする。

直線 $l$ 上に異なる2点 $P,Q$ を取る。$P,Q$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p},\vec{q}$ とすれば、$\vec{v}=\vec{q}-\vec{p}$ は $l$ の方向ベクトルであり、$\vec{v}\ne \vec{0}$ である。

条件より、$P$ が移った点も $Q$ が移った点も同じ直線 $l$ 上にある。したがって、移った後の差 $A\vec{q}-A\vec{p}=A(\vec{q}-\vec{p})=A\vec{v}$ は、直線 $l$ の方向に平行である。よって、ある実数 $\lambda$ が存在して $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$ と書ける。もし $A\vec{v}=\vec{0}$ であっても、これは $\lambda =0$ とすれば含まれる。

ここで

とおく。上の式は

であるから

となる。 $(r,s)\ne (0,0)$ であるから、この連立方程式が0でない解をもつためには

でなければならない。左辺を展開すると $(\lambda -a)(\lambda -d)-bc={\lambda }^2-(a+d)\lambda +ad-bc$ である。

したがって実数 $\lambda$ が ${\lambda }^2-(a+d)\lambda +ad-bc=0$ を満たす。ゆえに、2次方程式 $x^2-(a+d)x+ad-bc=0$ は実数解をもつ。