問題
平面において，曲線と正方形が共通点をもつとき，点の存在する範囲を求め，これを図示せよ．
出典：大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
正方形が放物線と交わる条件を、 における の値域と、縦方向の区間 が交わる条件に直す。最小値は区間が0を含むかどうかで分かれ、最大値は端点の絶対値が大きい方で決まる。最後は が下側境界と上側境界の間にある範囲として図示する。
解答
正方形と放物線 が共通点をもつことは、ある実数 が存在して を満たすことと同値である。
区間 における の最小値を 、最大値を とする。この区間で が取りうる値全体は である。したがって縦方向の区間 と交わる条件は である。すなわち が必要十分条件である。
まず最小値を求める。区間 がすべて0以下なら右端で最小、0を含めば最小値は0、すべて0以上なら左端で最小である。よって
である。
次に最大値を求める。 の最大値は、端点 と のうち絶対値が大きい方で決まる。 は と同値なので
である。
したがって求める範囲は次の通りである。
図示すると、上側の境界は
である。下側の境界は である。これらの境界を含め、その間を塗った部分が点 の存在範囲である。