問題
を正数とし，とする．
(1) 方程式が3個の実数解をもち，それらの解が互いに1以上離れているためのの条件を求めよ．
(2) 曲線がある点で軸に接するとき，の値および曲線と軸とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
と因数分解し、2次方程式の2根を と置く。3個の実数解と距離条件は、 の間隔を直接調べればよい。(2)は 軸に接することを重解条件に直し、 のときの正の部分を積分して面積を出す。
解答
(1)
である。 なので は単純な解である。残りの2解は の解である。
この2解を とおくと、解と係数の関係から であり、また である。したがって と見てよい。
方程式 が3個の実数解をもつには、2次方程式が相異なる実数解をもち、しかも と重ならないことが必要である。 のもとでは なら となり、3解は である。
これらが互いに1以上離れている条件は である。すなわち であり、 を得る。 だから となる。よって求める条件は である。
(2)
曲線 が 軸に接することは、 が重解をもつことを意味する。 なので であり、 は重解ではない。したがって が重解をもつ場合だけを考えればよい。
判別式を0とおくと より である。このとき であり、 では である。したがって、曲線と 軸で囲まれる部分は にあり、その面積 は
である。
よって である。