問題
，として，行列
を考える．であって，に対してはであるとき，次の問に答えよ．ただしは単位行列を表す．
(1) およびを求めよ．
(2) 原点を通らない1つの直線をとし，行列で表される1次変換によってをうつした直線をとする．6本の直線の交点の個数を求めよ．
方針
行列 は、原点中心の回転と 倍の拡大を同時に表す。 から と を得て、さらに で となる条件から回転の周期がちょうど6になる だけを残す。(2) は6本を原点中心の60度回転で得られる直線群として見て、3組の平行対を除いて交点を数える。
解答
(1)
行列
は、原点のまわりに角 だけ回転し、長さを 倍する変換を表す。したがって は、角 の回転と 倍の拡大を表す。 より である。 だから である。また回転角について となる整数 が存在するので である。範囲 より を考えればよい。
さらに で であるためには、回転の周期がちょうど6でなければならない。つまり と が互いに素である必要がある。よって であり、 である。
(2)
(1)より は または の回転である。向きが逆でも得られる6本の直線の集合は同じなので、 ずつ回転する場合で考える。
座標軸を回転して、最初の直線を と書いてよい。ただし は原点を通らないので である。すると6本の直線は、原点からの距離が で、法線方向が ずつ異なる直線である。これは、原点を中心とする正六角形の6辺を含む直線と同じ配置になる。
6本の直線のうち、 だけ向きが違うものは互いに平行である。したがって平行な組は 組ある。また なので、 回転した直線は元の直線と一致せず、平行な別の直線である。
6本から2本を選ぶ組は 組である。このうち3組は平行で交わらない。残りの12組は交わる。正六角形の辺を含む直線の配置では、平行でない2本の交点にさらに別の1本が通ることはないので、これらの交点はすべて別々である。
よって交点の個数は である。