問題
座標平面上に3点，，がある．軸上の動点 に対して，線分上の点をであるようにとる．
(1) 2点，を通る直線は，すべて定点を通ることを示せ．
(2) 2点，を通る直線と線分の交点をとする．の面積を求めよ．
(3) を証明せよ．
出典：大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず比 を に直し、点 の座標を求める。直線 は と を通る条件から方程式にし、 によらず通る定点を読む。面積は、直線 との交点 を出した後、 を基準にした2本のベクトルの行列式で計算し、最後に分母が正であることを使って不等式を示す。
解答
(1)
条件 より である。点 は線分 上の内分点なので、 である。
直線 は を通るから と表せる。実際、 を代入すると であり、上の を代入しても となる。
この直線の方程式に を代入すると となり、任意の で成り立つ。したがって、すべての直線 は定点 を通る。
(2)
直線 は である。これと を連立する。 を代入すると なので である。
ここで であり、 である。したがって三角形 の面積は
となる。よって である。
(3)
では である。したがって不等式は分子を比較すればよい。
まず
である。また
である。よって が成り立つ。