問題
半径1の球が2つ接している．この2つの球のいずれにも接するように半径 の球を8個おき，8個の球はすべて両隣りと接するようにしたい．このときのの値を求めよ．
出典：大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
2つの半径1の球の中心を結ぶ直線を軸として見る。半径 の球の中心は、2中心から等距離にあるので垂直二等分平面上にあり、さらに2中心からの距離が の円周上に並ぶ。隣り合う小球が接するので、その中心間距離は であり、8点はその円に内接する正八角形の頂点になる。
解答
2つの半径1の球の中心を とする。2つの球は接しているので である。
半径 の球が両方の半径1の球に接するなら、その中心は からともに だけ離れている。したがって、その中心は の垂直二等分平面上にある。
この平面上で、小球の中心が並ぶ円の半径を とする。 の中点から までの距離は であるから、直角三角形より である。よって を得る。
8個の小球はすべて両隣りと接するので、隣り合う小球の中心間距離は である。同じ円周上で隣り合う弦の長さがすべて等しいため、8個の中心は半径 の円に内接する正八角形の頂点になる。正八角形の1辺は だから すなわち である。
これを二乗して を代入すると である。 なので で割って となる。したがって である。
また より である。