問題
3次式（は定数）について次の問に答えよ．
(1) が3個の相異なる実数解をもつためには，の値はどんな範囲になければならないか．
(2) が3個の相異なる整数解をもつことがあるか．また2個の相異なる整数を解としてもつのはどんな場合か．
出典：大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
(1) は を上下に動かす問題なので、 の極大値と極小値を調べる。(2) は、整数解を持つならモニックな三次方程式の解と係数の関係から、3つの解を整数として扱える。平方和 を求めると候補がごく少数に絞られ、3個相異なる場合と2個相異なる場合を同時に判定できる。
解答
(1)
とおくと である。導関数は だから、 は で極大、 で極小をとる。
それぞれの値は である。三次方程式 が3個の相異なる実数解をもつためには、極大値が正、極小値が負であればよい。したがって より である。
(2)
まず、3個の相異なる整数解を と仮定する。解と係数の関係より である。したがって となる。
平方数の和が になる整数の組を考えると、絶対値の組は または に限られる。このうち和が になるのは だけである。これは3個が相異なる整数ではない。よって である。
次に、2個の相異なる整数を解にもつ場合を考える。係数が整数で最高次係数が なので、2個の整数解をもてば、残りの1解も解と係数の関係から整数である。上の候補より、整数解の組は でなければならない。
このとき である。したがって のときに限り、相異なる2個の整数解 をもつ。