大阪大学 1982年度理系数学第5問解答・解説

問題

(1) $k > 1$ のとき

x lo g x ≧ (1 + lo g k) (x - k) + k lo g k

が $x ≧ 1$ に対して成り立つことを示せ．

(2) $n$ を2以上の整数とする．このとき

a_{n} = k = 2 \sum n k lo g k

とおけば，次の不等式が成り立つことを示せ．

a_{n} < \int_{\frac{3}{2}}^{n + \frac{1}{2}} x lo g x d x < \frac{1}{2} (n + \frac{1}{2})^{2} {lo g (n + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}} + 1

ただし，対数はすべて自然対数とする．

出典：大阪大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1)は $g (x) = x lo g x$ の接線不等式として示す。 $g^{''} (x) > 0$ を使ってもよいが、差を $h (x)$ と置いて $h^{'} (x) = lo g (x / k)$ の符号を見ると高校範囲で明確になる。(2)は(1)を各区間 $[k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2}]$ で積分し、右辺の一次部分の積分が0になることを利用する。上側の評価は積分を直接計算し、下端から来る定数を粗く $+ 1$ で押さえる。

解答

{(1) $g (x) = x lo g x$ とおく。固定した $k > 1$ に対して $h (x) = g (x) - {(1 + lo g k) (x - k) + k lo g k}$ とおく。示すべきことは $h (x) ≧ 0$ である。

まず $h (k) = 0$ である。また $g^{'} (x) = 1 + lo g x$ だから $h^{'} (x) = 1 + lo g x - (1 + lo g k) = lo g \frac{x}{k} .$ したがって $1 ≦ x < k$ では $h^{'} (x) < 0$ であり、 $x > k$ では $h^{'} (x) > 0$ である。よって $h (x)$ は $x = k$ で最小値をとり、その最小値は $h (k) = 0$ である。

したがって $x ≧ 1$ に対して $x lo g x ≧ (1 + lo g k) (x - k) + k lo g k$ が成り立つ。

(2)

(1)の不等式を、 $x$ について $k - \frac{1}{2} ≦ x ≦ k + \frac{1}{2}$ で積分する。ここで $k ≧ 2$ なので、この区間は $x ≧ 1$ に含まれる。

右辺を積分すると $\int_{k - 1/2}^{k + 1/2} (1 + lo g k) (x - k) d x = 0$ であり、また区間の長さは1なので $\int_{k - 1/2}^{k + 1/2} k lo g k d x = k lo g k$ である。したがって $\int_{k - 1/2}^{k + 1/2} x lo g x d x ≧ k lo g k .$ 等号は一点 $x = k$ 以外では成り立たないので、積分では $\int_{k - 1/2}^{k + 1/2} x lo g x d x > k lo g k$ である。

これを $k = 2, 3, \dots, n$ について加えると $a_{n} = \sum_{k = 2}^{n} k lo g k < \int_{3/2}^{n + 1/2} x lo g x d x$ を得る。

次に上側の評価をする。原始関数は

\int x lo g x d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{x ^{2}}{2} (lo g x - \frac{1}{2})

である。 $N = n + \frac{1}{2}$ とおくと

\int_{3/2}^{N} x lo g x d x = \frac{N ^{2}}{2} (lo g N - \frac{1}{2}) - \frac{9}{8} (lo g \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) .

ここで $- \frac{9}{8} (lo g \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) < 1$ である。例えば $lo g \frac{3}{2} > 0$ より $- \frac{9}{8} (lo g \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) < \frac{9}{16} < 1$ である。

したがって

\int_{3/2}^{N} x lo g x d x < \frac{N ^{2}}{2} (lo g N - \frac{1}{2}) + 1.

$N = n + \frac{1}{2}$ を戻して

\int_{\frac{3}{2}}^{n + \frac{1}{2}} x lo g x d x < \frac{1}{2} (n + \frac{1}{2})^{2} {lo g (n + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}} + 1

である。

以上より、求める二つの不等式が成り立つ。}

大阪大学 1982年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(2)

大阪大学 1982年度
理系数学第5問