大阪大学 1982年度理系数学第4問解答・解説

問題

1つのさいころを $r$ 回振る．第 $i$ 回目に出る目の数を $n_{i}$ とする．そのとき

(1) $sin (\frac{2 π}{3} \times n_{1} \times \dots\dots \times n_{r}) \neq = 0$ となる確率 $P_{1}$ を求めよ．

(2) $r$ 回のうち，ちょうど $k$ 個の $i$ について $sin (\frac{2 π}{3} \times n_{i}) > 0$ となる確率 $P_{2}$ を求めよ．

(3) $r > 2 k > 0$ のとき， $P_{2} > P_{1}$ が成り立つことを示せ．

出典：大阪大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$sin \frac{2 π N}{3}$ が0になるのは整数 $N$ が3の倍数のときである。(1)は積 $n_{1} \dots n_{r}$ が3の倍数でない確率なので、各回の目が $1, 2, 4, 5$ のいずれかである確率を取る。(2)は $sin \frac{2 π n _{i}}{3} > 0$ となる目が $1, 4$ の2個であることから二項型に数える。(3)は $\frac{P _{2}}{P _{1}}$ を作り、組合せ数が $2^{k}$ より大きいことを示す。

解答

(1)

整数 $N$ について $sin \frac{2 π N}{3} = 0$ となるのは、 $N$ が3の倍数のときである。したがって $sin (\frac{2 π}{3} n_{1} n_{2} \dots n_{r}) \neq = 0$ となるには、積 $n_{1} n_{2} \dots n_{r}$ が3の倍数でなければよい。

さいころの目のうち3の倍数は $3, 6$ である。積が3の倍数でないためには、どの回にも $3$ または $6$ が出てはいけない。したがって各回で許される目は $1, 2, 4, 5$ の4個である。

よって $P_{1} = (\frac{4}{6})^{r} = (\frac{2}{3})^{r} .$ (2) $sin (\frac{2 π}{3} n_{i}) > 0$ となる目を調べる。 $n_{i} = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対して、正になるのは $n_{i} = 1, 4$ のときである。したがって1回あたりの確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$ $r$ 回のうち、ちょうど $k$ 回でこのことが起こる確率は

P_{2} =_{r} C_{k} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{r - k} .

(3)

(1)、(2)より

\frac{P _{2}}{P _{1}} =_{r} C_{k} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{r - k} (\frac{3}{2})^{r} .

整理すると $\frac{P _{2}}{P _{1}} =_{r} C_{k} \frac{1}{2 ^{k}} .$ 仮定 $r > 2 k$ より、整数 $r$ について $r ≧ 2 k + 1$ である。したがって $_{r} C_{k} ≧_{2 k + 1} C_{k} .$ さらに $_{2 k + 1} C_{k} = \frac{( 2 k + 1 ) ( 2 k ) \dots ( k + 2 )}{k ( k - 1 ) \dots 1} .$ 分母を $k, k - 1, \dots, 1$ と並べたとき、対応する各分子はそれぞれ分母の2倍より大きい。したがって $_{2 k + 1} C_{k} > 2^{k} .$ よって $\frac{P _{2}}{P _{1}} > 1$ であり、 $P_{2} > P_{1}$ が成り立つ。

別解の視点

(3)では確率をそれぞれ直接比較するより、共通因子 $(\frac{2}{3})^{r}$ を消すために比を取るのがよい。すると問題は $_{r} C_{k} > 2^{k}$ の組合せ不等式に変わる。

大阪大学 1982年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(3)

別解の視点

大阪大学 1982年度
理系数学第4問