大阪大学 1982年度理系数学第2問解答・解説

問題

条件 $1 < x < 2^{n + 1}$ および $0 < y ≦ lo g_{2} x$ を満たす整数 $x$ ， $y$ を座標とする点 $(x, y)$ の個数を求めよ．ただし，”条件 $1 < x < 2^{n + 1}$ ”の $n$ は正の整数である．

出典：大阪大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

整数 $y$ を先に固定する。条件 $0 < y ≦ lo g_{2} x$ は $2^{y} ≦ x$ と同値であり、さらに $x < 2^{n + 1}$ から $y ≦ n$ が分かる。したがって $y = 1, 2, \dots, n$ について、 $x$ の整数範囲 $2^{y} ≦ x ≦ 2^{n + 1} - 1$ の個数を足し上げる。

解答

条件より $y$ は正の整数である。また $1 < x < 2^{n + 1}$ なので $lo g_{2} x < n + 1$ である。さらに $y ≦ lo g_{2} x$ だから $y < n + 1.$ $y$ は整数なので $y = 1, 2, \dots, n$ だけを考えればよい。

いま $y$ を一つ固定する。条件 $y ≦ lo g_{2} x$ は、底が2で $2 > 1$ であるから $2^{y} ≦ x$ と同値である。また $x < 2^{n + 1}$ であり、 $x$ は整数なので $x ≦ 2^{n + 1} - 1.$ したがって固定した $y$ に対する $x$ の個数は $(2^{n + 1} - 1) - 2^{y} + 1 = 2^{n + 1} - 2^{y}$ である。

よって求める点の個数は $\sum_{y = 1}^{n} (2^{n + 1} - 2^{y})$ である。これを計算して $\sum_{y = 1}^{n} (2^{n + 1} - 2^{y}) = n 2^{n + 1} - \sum_{y = 1}^{n} 2^{y} .$ $\sum_{y = 1}^{n} 2^{y} = 2^{n + 1} - 2$ だから $n 2^{n + 1} - (2^{n + 1} - 2) = (n - 1) 2^{n + 1} + 2.$ したがって求める個数は $(n - 1) 2^{n + 1} + 2$ である。

別解の視点

$x$ を先に固定すると $⌊ lo g_{2} x ⌋$ を扱う必要が出る。 $y$ を先に固定すれば、対数条件が $x ≧ 2^{y}$ という整数範囲に変わるため、端点処理が単純になる。

大阪大学 1982年度理系数学 第2問

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方針

解答

別解の視点

大阪大学 1982年度
理系数学第2問