大阪大学 1982年度
理系数学 第3問

解答

まず $xy$ 平面上で三角形 $OAB$ の内接円を求める。 $O=(0,0,0),A=(1,\sqrt{3},0),B=(4,0,0)$ であるから $OA=2,OB=4,AB=2\sqrt{3}.$ 三角形の面積は $2\sqrt{3}$ であり、半周長は $3+\sqrt{3}$ である。したがって内接円の半径は $\rho =\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1.$ 内心を $(h,k,0)$ とすると、内心の座標公式から $h=3-\sqrt{3},k=\sqrt{3}-1$ である。

球の中心を $(h,k,z_0)$、半径を $R$ とする。$xy$ 平面による切り口の半径が $\rho$ なので $R^2-z_0^2={\rho }^2.$ また、球は $yz$ 平面に接する。中心から $yz$ 平面までの距離は $h=3-\sqrt{3}$ であり、これが球の半径に等しい。したがって $R=3-\sqrt{3}.$ よって $z_0^2=R^2-{\rho }^2=(3-\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}-1{)}^2.$ 右辺を整理すると $z_0^2=8-4\sqrt{3}.$ ここで $(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2=8-4\sqrt{3}$ だから $z_0=\pm (\sqrt{6}-\sqrt{2}).$ したがって球の中心は $(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,\sqrt{6}-\sqrt{2})$ または $(3-\sqrt{3},\sqrt{3}-1,-\sqrt{6}+\sqrt{2})$ であり、半径は $3-\sqrt{3}$ である。

別解の視点

文系第4問と似ているが、接する対象が $z$ 軸ではなく $yz$ 平面である。したがって半径は $\sqrt{h^2+k^2}$ ではなく、中心から $yz$ 平面までの距離 $h$ で決まる。この違いを最初に分けると計算を取り違えにくい。