大阪大学 1981年度理系数学第5問解答・解説

問題

$(2 n + 1)$ 枚のカードに $- n$ から $n$ までの各整数を1枚に1つずつ書いて箱の中に入れる．この箱の中から無作為に1枚のカードを取り出し，それに書かれている数を $X$ とする．

(1) 確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ．

(2) このカードを箱の中へ戻してから，ふたたび無作為に1枚のカードを取り出して，それに書かれている数を $Y$ とし， $Z = X + Y$ とする． $∣ k ∣ ≦ 2 n$ を満たす整数 $k$ に対して， $Z = k$ となる確率を $p_{k}$ とする． $p_{k}$ を $n$ と $k$ を用いて表せ．

(3) (2)の結果を利用して， $Z$ の分散 $V (Z)$ を求めよ．

出典：大阪大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1) は対称性から平均が $0$ であることを使い、平方和で分散を求める。(2) は $X + Y = k$ となる整数組の個数を、正方形格子上の斜めの並びとして数えると $2 n + 1 - ∣ k ∣$ 個になる。(3) は(2)の分布から $E (Z^{2}) = \sum k^{2} p_{k}$ を計算する。最後に独立性からの確認もできる。

解答

(1)

$X$ は $- n, - n + 1, \dots, n$ を同じ確率で取る。分布は $0$ を中心に対称なので $E (X) = 0$ である。したがって $V (X) = E (X^{2})$ である。よって

V (X) = \frac{1}{2 n + 1} j = - n \sum n j^{2} = \frac{2}{2 n + 1} j = 1 \sum n j^{2}

であり、 $\sum_{j = 1}^{n} j^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ を用いて $V (X) = \frac{2}{2 n + 1} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{n ( n + 1 )}{3}$ となる。

(2)

$Z = k$ となるには $X + Y = k, - n ≦ X ≦ n, - n ≦ Y ≦ n$ であればよい。 $k ≧ 0$ のとき、 $Y = k - X$ が $- n ≦ Y ≦ n$ を満たすには $k - n ≦ X ≦ n$ である。したがって組の個数は $n - (k - n) + 1 = 2 n + 1 - k$ である。 $k < 0$ のときも対称性により、組の個数は $2 n + 1 - ∣ k ∣$ である。全体の組数は $(2 n + 1)^{2}$ だから、 $∣ k ∣ ≦ 2 n$ に対して $p_{k} = \frac{2 n + 1 - ∣ k ∣}{( 2 n + 1 ) ^{2}}$ である。

(3)

$Z$ の分布も $0$ を中心に対称なので $E (Z) = 0$ である。したがって $V (Z) = E (Z^{2}) = \sum_{k = - 2 n}^{2 n} k^{2} p_{k}$ である。(2) を代入すると $V (Z) = \frac{2}{( 2 n + 1 ) ^{2}} \sum_{k = 1}^{2 n} k^{2} (2 n + 1 - k)$ となる。ここで

k = 1 \sum 2 n k^{2} (2 n + 1 - k) = (2 n + 1) k = 1 \sum 2 n k^{2} - k = 1 \sum 2 n k^{3}

である。

k = 1 \sum 2 n k^{2} = \frac{2 n ( 2 n + 1 ) ( 4 n + 1 )}{6}, k = 1 \sum 2 n k^{3} = {n (2 n + 1)}^{2}

を代入して

V (Z) = \frac{2}{( 2 n + 1 ) ^{2}} {(2 n + 1) \frac{2 n ( 2 n + 1 ) ( 4 n + 1 )}{6} - n^{2} (2 n + 1)^{2}} = 2 {\frac{2 n ( 4 n + 1 )}{6} - n^{2}} = \frac{2 n ( n + 1 )}{3}

である。

別解。

(3) は、 $X$ と $Y$ が独立で同じ分布に従うことを使えば $V (Z) = V (X + Y) = V (X) + V (Y) = 2 V (X)$ と確認できる。したがって (1) より $V (Z) = \frac{2 n ( n + 1 )}{3}$ であり、(2) の分布からの計算結果と一致する。

大阪大学 1981年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

別解。

大阪大学 1981年度
理系数学第5問