大阪大学 1981年度理系数学第4問解答・解説

問題

平面上の点 $P (0, a)$ $(a > 0)$ を中心とし，2点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ を通る円を $C$ とする．円 $C$ の $x$ 軸より下にある部分の弧 $A B ⌢$ 上の点の座標を $(x, f (x))$ $(- 1 ≦ x ≦ 1)$ とする．

(1) 定積分 $I = \int_{- 1}^{1} (1 + {f^{'} (x)}^{2}) d x$ を $C$ の半径 $r$ を用いて表せ．

(2) $I$ を $r$ の関数と考えて， $r \to \infty lim I$ を求めよ．ただし， $h \to 0 lim \frac{lo g ( 1 + h )}{h} = 1$ を用いてよい．

出典：大阪大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

円の中心は $(0, a)$ 、半径は $r$ で $r^{2} = a^{2} + 1$ である。下側の弧は $f (x) = a - r^{2} - x^{2}$ と表せるので、 $f^{'} (x)$ を計算して $1 + {f^{'} (x)}^{2} = r^{2} / (r^{2} - x^{2})$ に簡約する。積分は対数で表し、極限では $1/ r$ を小さい量として与えられた対数の極限を使う。

解答

(1)

円の中心は $P (0, a)$ であり、点 $A (- 1, 0)$ , $B (1, 0)$ を通るので、半径 $r$ は $r^{2} = a^{2} + 1$ を満たす。特に $r > 1$ である。

円の方程式は $x^{2} + (y - a)^{2} = r^{2}$ である。 $x$ 軸より下にある弧では $y = a - r^{2} - x^{2}$ だから $f (x) = a - r^{2} - x^{2}$ である。したがって $f^{'} (x) = \frac{x}{r ^{2} - x ^{2}}$ となり、 $1 + {f^{'} (x)}^{2} = 1 + \frac{x ^{2}}{r ^{2} - x ^{2}} = \frac{r ^{2}}{r ^{2} - x ^{2}}$ である。

よって $I = \int_{- 1}^{1} \frac{r ^{2}}{r ^{2} - x ^{2}} d x$ である。ここで $\int \frac{r ^{2}}{r ^{2} - x ^{2}} d x = \frac{r}{2} lo g \frac{r + x}{r - x}$ だから、

I = \frac{r}{2} [lo g \frac{r + x}{r - x}]_{- 1}^{1} = r lo g \frac{r + 1}{r - 1}

である。

(2)

(1) より

I = r lo g \frac{r + 1}{r - 1} = r {lo g (1 + \frac{1}{r}) - lo g (1 - \frac{1}{r})}

である。 $r \to \infty$ のとき $1/ r \to 0$ である。与えられた極限を $h = 1/ r$ に用いると

r lo g (1 + \frac{1}{r}) = \frac{lo g ( 1 + \frac{1}{r} )}{\frac{1}{r}} ⟶ 1

である。また $h = - 1/ r$ とおけば

r lo g (1 - \frac{1}{r}) = - \frac{lo g ( 1 - \frac{1}{r} )}{- \frac{1}{r}} ⟶ - 1

である。したがって $lim_{r \to \infty} I = 1 - (- 1) = 2$ である。

別解。

(2) は $I = \frac{lo g ( 1 + \frac{1}{r} ) - lo g ( 1 - \frac{1}{r} )}{\frac{1}{r}}$ とまとめてもよい。分子は $h = 1/ r$ として $lo g (1 + h) - lo g (1 - h)$ であり、与えられた極限からそれぞれ $h$ , $- h$ に相当する主な部分を読むと、比は $1 - (- 1)$ に近づく。

大阪大学 1981年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解。

大阪大学 1981年度
理系数学第4問