問題
空間内の平面，球面を考え，原点をとする．上の点に対して，線分またはそののほうへの延長ととの交点を，を通りに垂直な直線ととの交点をとし，，とおく．
(1) をを用いて表せ．
(2) が，，を満たすとき，を最大にするの値を求めよ．
出典：大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
点 は 方向の単位ベクトルなので と表せる。平面 の法線方向は であるから、 と置いて を求める。すると は の定数倍になり、 が だけの式になる。(2) は第一象限内の三角形上で となることを使って最大化する。
解答
(1)
とする。 は平面 上にあるので であり、また である。点 は、原点から へ向かう半直線と単位球面との交点であるから である。
平面 の法線方向は である。したがって、 を通り に垂直な直線上の点は と表せる。これが 上にあるとき であり、 より である。
よって
となる。ここで
である。したがって
である。
(2)
, のとき、 は座標平面で囲まれる三角形上を動く。このとき より である。また なので である。よって となる。 とおく。微分すると である。区間 にある臨界点は である。端点 , では である。一方、上の臨界点では で、導関数の符号も正から負へ変わる。
したがって を最大にする は である。
別解。
(2) の範囲は、平面 と第一象限でできる三角形を考えると分かりやすい。原点からこの平面までの距離は で、三角形の頂点 , , では距離が である。したがって はこの範囲を動き、あとは (1) で得た1変数関数の最大化に帰着する。