問題
の多項式があり，任意の実数に対して，がつねにで割り切れるとする．このとき，ある多項式によって，と表されることを示せ．
出典：大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
の項を次数の余りで3種類に分け、 と表す。 を と同じものとして見たときの余りを計算し、その余りが任意の で零多項式になることから、 を得る。 は全実数を動くので は零多項式である。
解答
の各項を、次数を で割った余りによって分ける。すると、ある多項式 を用いて と表せる。これは、たとえば , , の3種類に項を集めたものである。
任意の実数 を固定する。 で割った余りを考えると、割り算の余りの世界では と見てよい。したがって
である。よって の余りは である。
仮定より、 は常に で割り切れる。したがって上の余りは、 の多項式として零多項式でなければならない。すなわち である。ここで の係数を見ると であり、次に の係数を見ると である。
これは任意の実数 について成り立つ。実数 は全ての実数値をとるので、 である。したがって と表される。
別解。
次数を3で割った余りごとに分ける考え方は、 で割るときには の部分だけが に置き換わり、余る可能性があるのは の部分だけである、という見方である。余りの 係数と 係数を順に見れば、 型と 型の成分はすべて消えるので、残るのは の多項式だけである。