岡山大学 2020年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ を正の数とする． $x y$ 平面において，点 $A$ $(a, 0)$ をとり， $C_{1}$ を双曲線 $x^{2} - 4 y^{2} = - 4$ とし， $C_{2}$ を双曲線 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ が $C_{1}$ 上にあるとする．このとき $A P$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めよ．

(2)　点 $P$ が $C_{2}$ 上にあるとする．このとき $A P$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めよ．

(3)　点 $P$ が $C_{1}$ または $C_{2}$ 上にあるとする．このとき点 $(2, 0)$ が， $A P$ の最小値を与える点 $P$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期理系第4問

点 $P = (x, y)$ とし，各双曲線の式から $y^{2}$ を $x$ で表す。距離の2乗 $A P^{2}$ を $x$ の2次式に直し， $C_{2}$ では $x ≦ - 2$ または $x ≧ 2$ という定義域を忘れずに場合分けする。

$P = (x, y)$ とする。 $P$ が $C_{1}$ 上にあるとき

y^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + 1

である。したがって

A P^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 2 a x + a^{2} + 1

である。この2次式は

x = \frac{4 a}{5}

で最小となる。そのとき

y^{2} = \frac{4 a ^{2}}{25} + 1 = \frac{4 a ^{2} + 25}{25}

である。よって，最小にする点は

P = (\frac{4 a}{5}, \pm \frac{4 a ^{2} + 25}{5})

であり，最小値は

\frac{a ^{2}}{5} + 1 = \frac{a ^{2} + 5}{5}

である。

$P$ が $C_{2}$ 上にあるとき

y^{2} = \frac{x ^{2}}{4} - 1, x ≦ - 2 または x ≧ 2

である。したがって

A P^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1

である。この2次式の軸は $x = 4 a /5$ である。

$0 < a < 5/2$ のとき，軸は $x = 2$ より左にあるので，右側の枝で最も近い点は $(2, 0)$ である。左側の枝は点 $A (a, 0)$ からさらに遠いので，最小にする点は

P = (2, 0)

であり，最小値は

∣ a - 2∣

である。

$a ≧ 5/2$ のとき，軸 $x = 4 a /5$ は右側の枝に入る。このとき最小にする点は

P = (\frac{4 a}{5}, \pm \frac{4 a ^{2} - 25}{5})

であり，最小値は

\frac{a ^{2}}{5} - 1 = \frac{a ^{2} - 5}{5}

である。

点 $(2, 0)$ は $C_{2}$ 上にある。(2)より， $C_{2}$ 上で $(2, 0)$ が最小値を与えるためには

0 < a ≦ \frac{5}{2}

であればよい。

さらに $C_{1}$ 上の最小距離が $(2, 0)$ までの距離以上でなければならない。すなわち

∣ a - 2∣ ≦ \frac{a ^{2}}{5} + 1

である。両辺を2乗して整理すると

4 a^{2} - 20 a + 15 ≦ 0

となる。よって

\frac{5 - 10}{2} ≦ a ≦ \frac{5 + 10}{2}

である。これと $0 < a ≦ 5/2$ を合わせて，求める範囲は

\frac{5 - 10}{2} ≦ a ≦ \frac{5}{2}

である。