岡山大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間における $O$ $(0, 0, 0),$ $A$ $(1, 0, 0),$ $B$ $(1, 1, 0),$ $C$ $(0, 1, 0),$ $D$ $(0, 0, 1),$ $E$ $(1, 0, 1),$ $F$ $(1, 1, 1),$ $G$ $(0, 1, 1)$ を頂点とする立方体を考える．点 $P$ は時刻 $t = 0$ に原点 $O$ を出発し毎秒 $1$ の速さで正方形 $O A B C$ の周上を点 $O,$ 点 $A,$ 点 $B,$ 点 $C$ の順に一周する．点 $Q$ は時刻 $t = 0$ に点 $D$ を出発し毎秒 $1$ の速さで正方形 $D E F G$ の周上を点 $D,$ 点 $G,$ 点 $F,$ 点 $E$ の順に一周する．線分 $P Q$ が通過してできる図形と正方形 $O A B C,$ 正方形 $D E F G$ によって囲まれる立体を $K$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $a$ は $0 ≦ a < \frac{1}{2}$ を満たすとする．平面 $z = a$ によって立体 $K$ を切ったときの切り口の面積を求めよ．

(2)　立体 $K$ の体積を求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期理系第3問

方針

高さ $z = a$ の平面と時刻 $t$ の線分 $P Q$ の交点を，底面側の点 $P$ と上面側の点 $Q$ の内分点として表す。時刻を4つの辺ごとに分けると断面の境界が四角形になるので，その面積を求めて体積は積分する。

解答

(1)

平面 $z = a$ と線分 $P Q$ の交点は，底面上の点 $P$ と上面上の点 $Q$ を

1 - a : a

に内分する点である。

まず $0 ≦ t ≦ 1$ では

P = (t, 0, 0), Q = (0, t, 1)

であるから，断面上の点は

((1 - a) t, a t)

を動き， $(0, 0)$ から $(1 - a, a)$ までの線分を描く。同様に4つの辺について調べると，断面の境界は

(0, 0), (1 - a, a), (1, 1), (a, 1 - a)

を頂点とする四角形である。

この四角形の面積は，対角線または座標計算から

1 - 2 a

である。したがって，求める切り口の面積は

1 - 2 a

である。

(2)

立体は平面 $z = 1/2$ に関して上下対称である。したがって体積は

2 \int_{0}^{1/2} (1 - 2 a) d a = 2 [a - a^{2}]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2}

である。

岡山大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2020年度
理系数学第3問