岡山大学 2020年度理系数学第1問解答・解説

問題

$x$ と $y$ をそれぞれ自然数とする．袋 $A$ には白玉 $2$ 個，赤玉 $3$ 個，袋 $B$ には白玉 $x$ 個，赤玉 $y$ 個が入っている．袋 $A$ から $1$ 個の玉を取り出して袋 $B$ に入れ，よくかき混ぜて袋 $B$ から $1$ 個の玉を取り出して袋 $A$ に入れる．このとき袋 $A$ の白玉の個数がはじめと変わらない確率を $p$ とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　 $x = 10,$ $y = 23$ のとき $p$ を求めよ．

(2)　(1)で求めた $p$ を与える $x, y$ の組で $1 ≦ x ≦ 1000,$ $1 ≦ y ≦ 1000$ となるものが何組あるかを求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期理系第1問

方針

袋Aの白玉数が変わらないのは，白を移して白を戻す場合と，赤を移して赤を戻す場合である。この確率を $x, y$ で表し，(1)の値と等しい条件を一次方程式に直して整数解を数える。

解答

(1)

袋 $A$ の白玉の個数がはじめと変わらないのは，白玉を袋 $B$ に移して白玉を戻す場合，または赤玉を袋 $B$ に移して赤玉を戻す場合である。したがって

p = \frac{2}{5} \cdot \frac{x + 1}{x + y + 1} + \frac{3}{5} \cdot \frac{y + 1}{x + y + 1} = \frac{2 x + 3 y + 5}{5 ( x + y + 1 )}

である。

$x = 10, y = 23$ のとき

p = \frac{20 + 69 + 5}{5 \cdot 34} = \frac{47}{85}

である。

(2)

\frac{2 x + 3 y + 5}{5 ( x + y + 1 )} = \frac{47}{85}

より

17 (2 x + 3 y + 5) = 47 (x + y + 1)

である。整理して

13 x - 4 y = 38

を得る。

この式から $x \equiv 2 (mod 4)$ である。そこで

x = 4 k + 2

とおくと

y = 13 k - 3

である。条件 $1 ≦ x ≦ 1000, 1 ≦ y ≦ 1000$ は

1 ≦ k ≦ 77

と同値である。したがって求める組の個数は

77

である。

岡山大学 2020年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2020年度
理系数学第1問