岡山大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

$0$ でない複素数 $α$ は $∣ α - i ∣ = 1$ を満たすとする．また $α$ の偏角 $θ$ は $0 < θ < \frac{π}{2}$ を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $∣ α ∣$ を $θ$ を用いて表せ．

(2)　 $β = - α + 2 i$ とおく． $β$ の偏角 $ar g β$ を $θ$ を用いて表せ．ただし $0 ≦ ar g β < 2 π$ とする．

(3)　 $β$ は(2)で与えられたものとする．複素数平面において実軸上に点 $P (\frac{1}{3})$ をとる． $3$ 点 $A (α),$ $B (β),$ $P (\frac{1}{3})$ が一直線上にあるとき $θ$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期理系第2問

$α = r (cos θ + i sin θ)$ とおき，円の条件から $r$ を求める。次に $β = - α + 2 i$ の実部・虚部を三角関数で表し，偏角を読む。最後は3点の一直線条件を座標の外積が0である条件に直す。

α = r (cos θ + i sin θ) (r > 0)

とおく。条件 $∣ α - i ∣ = 1$ より

r^{2} cos^{2} θ + (r sin θ - 1)^{2} = 1

である。整理すると

r^{2} - 2 r sin θ = 0

であり， $r > 0$ だから

∣ α ∣ = r = 2 sin θ

である。

(1)より

α = 2 sin θ (cos θ + i sin θ) = sin 2 θ + i (1 - cos 2 θ)

である。したがって

β = - α + 2 i = - sin 2 θ + i (1 + cos 2 θ) = 2 cos θ (- sin θ + i cos θ)

である。 $0 < θ < π /2$ より $cos θ > 0$ であるから，

ar g β = θ + \frac{π}{2}

である。

α = (sin 2 θ, 1 - cos 2 θ), β = (- sin 2 θ, 1 + cos 2 θ)

と座標で表せる。点 $P$ は $(1/ 3, 0)$ である。

3点が一直線上にあるためには， $A B$ と $A P$ が平行であればよい。よって

(\frac{1}{3} - sin 2 θ) \cdot 2 cos 2 θ - {- (1 - cos 2 θ)} \cdot (- 2 sin 2 θ) = 0

である。整理して

\frac{cos 2 θ}{3} - sin 2 θ = 0

を得る。したがって

tan 2 θ = \frac{1}{3}

である。さらに $0 < θ < π /2$ であり，上式から $cos 2 θ > 0$ なので

2 θ = \frac{π}{6}

である。よって

θ = \frac{π}{12}

である。