岡山大学 2020年度文系数学第4問解答・解説

問題

$s$ を実数とする．等式

$f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ - s - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x {f (t) - ∣ t ∣} d t$

を満たす関数 $f (x)$ が与えられたとする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ を求めよ．

(2)　 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸が異なる $3$ 点で交わる $s$ の値の範囲を求めよ．

(3)　 $s$ が(2)で求めた範囲にあるとする． $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $A (s)$ を求めよ．

(4)　(3)における $A (s)$ の最小値を与える $s$ を求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期文系第4問

積分部分は $x$ に比例する定数項と見て， $C = \int_{- 1/2}^{1/2} {f (t) - ∣ t ∣} d t$ を置く。まず $C = - s$ を求めて $f (x)$ を決定し，その後は $x = 0, 1$ を境に絶対値を外して零点と面積を調べる。

C = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {f (t) - ∣ t ∣} d t

とおく。与えられた等式は

f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ - s - C x

である。

これを $C$ の式に代入する。区間 $- 1/2 ≦ t ≦ 0$ では

∣ t^{2} - t ∣ - ∣ t ∣ = t^{2}

であり，区間 $0 ≦ t ≦ 1/2$ では

∣ t^{2} - t ∣ - ∣ t ∣ = - t^{2}

である。したがって

C = \int_{- \frac{1}{2}}^{0} (t^{2} - s - C t) d t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} - s - C t) d t = - s

である。よって

f (x) = ∣ x^{2} - x ∣ + s (x - 1)

である。

f (x) = {(x - 1) (x + s) - (x - 1) (x - s) (x ≦ 0, 1 ≦ x), (0 ≦ x ≦ 1)

である。零点は常に $x = 1$ を含む。さらに $x = - s$ が $x ≦ 0$ にあるには $s ≧ 0$ ， $x = s$ が $0 ≦ x ≦ 1$ にあるには $0 ≦ s ≦ 1$ である。

異なる3点で交わるためには

0 < s < 1

であればよい。

$0 < s < 1$ では零点は

- s, s, 1

である。区間 $[- s, s]$ で $f (x) ≦ 0$ ，区間 $[s, 1]$ で $f (x) ≧ 0$ であるから

A (s) = - \int_{- s}^{0} (x - 1) (x + s) d x - \int_{0}^{s} {- (x - 1) (x - s)} d x + \int_{s}^{1} {- (x - 1) (x - s)} d x

である。計算すると

A (s) = s^{2} + \frac{( 1 - s ) ^{3}}{6}

である。

A^{'} (s) = 2 s - \frac{( 1 - s ) ^{2}}{2}

である。 $A^{'} (s) = 0$ より

4 s = (1 - s)^{2}

であり，

s = 3 \pm 22

を得る。 $0 < s < 1$ にあるのは

s = 3 - 22

である。また $A^{''} (s) = 2 + (1 - s) > 0$ であるから，この値で最小となる。