岡山大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$1,$ $2,$ $3, 4$ から等しい確率で数を選ぶ試行を考える．この試行を繰り返すとき，第 $n$ 回目で選んだ数を $r_{n}$ とおく．数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 1$

$a_{n + 1} = r_{n} a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$

によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{4} = 24$ となる確率を求めよ．

(2)　 $a_{6} = 24$ となる確率を求めよ．

(3)　 $n ≧ 6$ とし $a_{n} = 24$ となる確率を求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期文系第1問

$a_{n} = r_{1} r_{2} \dots r_{n - 1}$ であり， $24 = 2^{3} \cdot 3$ であることに注目する。因子3を作るには一度だけ $3$ を選び，残りで $2$ の指数合計が3になるように数える。

$a_{4} = r_{1} r_{2} r_{3}$ である。 $24 = 2^{3} \cdot 3$ であり，選ぶ数の中で3を因数にもつものは $3$ だけであるから， $3$ を1回， $2$ と $4$ を1回ずつ選ぶ必要がある。順序は $3! = 6$ 通りであるから，求める確率は

\frac{6}{4 ^{3}} = \frac{3}{32}

である。

$a_{6} = r_{1} r_{2} r_{3} r_{4} r_{5}$ である。5回のうち1回だけ $3$ を選ぶ。残り4回は $1, 2, 4$ から選び， $2$ の指数の合計が3になればよい。

残り4回で指数の合計が3になるのは， $4$ を1回かつ $2$ を1回選ぶ場合が $4 \cdot 3 = 12$ 通り， $2$ を3回選ぶ場合が $_{4} C_{3} = 4$ 通りである。したがって残り4回は $16$ 通りである。

$3$ を選ぶ位置は5通りであるから，求める確率は

\frac{5 \cdot 16}{4 ^{5}} = \frac{5}{64}

である。

$n ≧ 6$ とする。 $a_{n} = r_{1} r_{2} \dots r_{n - 1}$ であるから， $n - 1$ 回のうち1回だけ $3$ を選ぶ。残り $n - 2$ 回について， $1, 2, 4$ をそれぞれ $2$ の指数 $0, 1, 2$ と見る。

指数の合計が3になるのは，指数2を1回，指数1を1回選ぶ場合と，指数1を3回選ぶ場合である。したがって残り $n - 2$ 回の選び方は

(n - 2) (n - 3) +_{n - 2} C_{3} = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n + 2 )}{6}

通りである。 $3$ を選ぶ位置は $n - 1$ 通りであるから，求める確率は

\frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n + 2 )}{6 \cdot 4 ^{n - 1}}

である。