岡山大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a,$ $b, c$ を整数とし， $2$ 次関数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ を考える．ただし $a \neq = 0$ である． $∣ x ∣ ≦ 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $∣ f (x) ∣ ≦ 1$ が成り立つとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $a,$ $b, c$ を $f (1),$ $f (- 1),$ $f (0)$ を用いて表せ．

(2)　 $f (x)$ をすべて求めよ．

出典：岡山大学 2020年度前期文系第2問

方針

まず $f (1), f (- 1), f (0)$ から係数を復元する。これらが整数で $- 1, 0, 1$ のいずれかであることを使って候補を絞り，最後に頂点を含めて $∣ f (x) ∣ ≦ 1$ を満たすものだけを残す。

解答

(1)

f (1) = a + b + c, f (- 1) = a - b + c, f (0) = c

である。したがって

a = \frac{f ( 1 ) + f ( - 1 ) - 2 f ( 0 )}{2}, b = \frac{f ( 1 ) - f ( - 1 )}{2}, c = f (0)

である。

(2)

$f (1), f (- 1), f (0)$ はいずれも整数で，かつ絶対値が1以下であるから，それぞれ $- 1, 0, 1$ のいずれかである。

(1)より $b$ が整数であるためには $f (1)$ と $f (- 1)$ の偶奇が一致する必要がある。候補を調べると， $f (1)$ と $f (- 1)$ が異符号の場合は $b = \pm 1$ となり， $a \neq = 0$ の候補は頂点で $∣ f (x) ∣ > 1$ となる。したがって $f (1) = f (- 1)$ の場合だけが残る。

$f (1) = f (- 1) = 0$ のとき， $b = 0, a = - f (0)$ であり， $a \neq = 0$ より

f (x) = x^{2} - 1, - x^{2} + 1

を得る。

$f (1) = f (- 1) = 1$ のとき， $b = 0, a = 1 - f (0)$ である。 $a \neq = 0$ より

f (x) = x^{2}, 2 x^{2} - 1

を得る。

$f (1) = f (- 1) = - 1$ のとき， $b = 0, a = - 1 - f (0)$ である。 $a \neq = 0$ より

f (x) = - x^{2}, - 2 x^{2} + 1

を得る。

これらはいずれも $∣ x ∣ ≦ 1$ で $∣ f (x) ∣ ≦ 1$ を満たす。したがって求める関数は

f (x) = x^{2} - 1, - x^{2} + 1, x^{2}, 2 x^{2} - 1, - x^{2}, - 2 x^{2} + 1

である。

岡山大学 2020年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2020年度
文系数学第2問