問題
数直線上にあるの5つの点と1つの石を考える。石がいずれかの点にあるとき，
石が点1にあるならば，確率1で点2に移動する
石が点 にあるならば，確率で点に，確率で点に移動する
石が点5にあるならば，確率1で点4に移動する
という試行を行う。石が点1にある状態から始め，この試行を繰り返す。また，石が移動した先の点に印をつけていく（点1には初めから印がついているものとする）。このとき，次の問に答えよ。
(1) 試行を6回繰り返した後に，石が点 にある確率をそれぞれ求めよ。
(2) 試行を6回繰り返した後に，5つの点すべてに印がついている確率を求めよ。
(3) 試行を回繰り返した後に，ちょうど3つの点に印がついている確率を求めよ。
方針
(1)(2)は文系第2問と同じく、6回の遷移を表と到達経路で処理する。(3)では、印のついた点が常に から最大到達点まで連続することを使う。ちょうど3点に印があることは「点3には到達済み、点4には未到達」と同値である。点4未到達の確率は、最初の1手の後、2手ごとのブロックで点4を避ける確率 を掛ける。点3未到達の確率も同様に、2手ごとに点3を避ける確率 を掛ける。
解答
(1)
初期状態は である。遷移規則に従って順に更新すると
である。よって
である。したがって
である。
(2)
すべての点に印がつくためには、6回以内に点5へ到達すればよい。点5へ初めて到達する時刻は4回目または6回目である。
6回目に初めて点5へ到達する経路は であり、それぞれの確率は である。4回目に点5へ到達する場合は、その後 の2通りがあり、それぞれ確率は である。したがって求める確率は である。よって である。
(3)
石は隣の点にしか移動しないので、印のついた点は常に という形で連続している。したがって、ちょうど3つの点に印がついていることは、点3には到達しており、点4にはまだ到達していないことと同値である。よって である。
まず点4に未到達である確率を求める。1回目の移動で必ず点2にいる。以後、点4へ到達しない限り、奇数回後には点2に戻ってくる。点2から2回移動して点4に到達しない経路は であり、その確率は である。一方、経路 は確率 で点4に到達する。したがって、最初の1回の後に含まれる完全な2回移動の組の数 だけ、点4を避ける確率 が掛かる。よって
である。
同様に、点3に未到達であるためには、点2から2回移動するたびに を選び続ける必要がある。この確率は1組あたり であり、 回の中に含まれるそのような2回移動の組の数は である。したがって
である。
以上より求める確率は
である。