名古屋大学 2015年度理系数学第3問解答・解説

問題

$e$ を自然対数の底とし， $t$ を $t > e$ となる実数とする。このとき，曲線 $C : y = e^{x}$ と直線 $y = t x$ は相異なる2点で交わるので，交点のうち $x$ 座標が小さいものを $P$ ，大きいものを $Q$ とし， $P$ ， $Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $α$ ， $β$ $(α < β)$ とする。また， $P$ における $C$ の接線と $Q$ における $C$ の接線との交点を $R$ とし，

曲線 $C$ ， $x$ 軸および2つの直線 $x = α$ ， $x = β$ で囲まれる部分の面積を $S_{1}$ ，

曲線 $C$ および2つの直線 $P R$ ， $QR$ で囲まれる部分の面積を $S_{2}$

とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $\frac{S _{2}}{S _{1}}$ を $α$ と $β$ を用いて表せ。

(2) $α < \frac{e}{t}$ ， $β < 2 lo g t$ となることを示し， $t \to \infty lim \frac{S _{2}}{S _{1}}$ を求めよ。必要ならば， $x > 0$ のとき $e^{x} > x^{2}$ であることを証明なしに用いてよい。

出典：名古屋大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

交点条件は $e^{α} = t α$ 、 $e^{β} = tβ$ である。接線の式をそれぞれ書き、2接線の交点 $R$ の $x$ 座標が $α + β - 1$ になることを先に求める。 $S_{1}$ は $e^{x}$ の積分で直ちに $t (β - α)$ となる。 $S_{2}$ は接線が曲線の下にあることを使い、 $α$ から $R$ の $x$ 座標までと、そこから $β$ までの2つに分けて積分する。最後は $h (x) = e^{x} - t x$ の符号と評価で $α β \to 0$ を示す。

解答

(1)

交点条件より $e^{α} = t α, e^{β} = tβ$ である。曲線 $C : y = e^{x}$ の $x = c$ における接線は $y = e^{c} (x - c) + e^{c} = e^{c} (x - c + 1)$ である。したがって、 $P, Q$ における接線はそれぞれ $y = t α (x - α + 1), y = tβ (x - β + 1)$ である。

2接線の交点 $R$ の $x$ 座標を $r$ とする。すると $α (r - α + 1) = β (r - β + 1)$ である。整理すると

(α - β) r = α (α - 1) - β (β - 1) = (α - β) (α + β - 1)

であり、 $α \neq = β$ だから $r = α + β - 1$ である。ここで $0 < α < 1 < β$ なので $α < r < β$ である。

まず

S_{1} = \int_{α}^{β} e^{x} d x = e^{β} - e^{α} = tβ - t α = t (β - α)

である。

次に $S_{2}$ を求める。指数関数のグラフは接線より上にあるので

S_{2} = \int_{α}^{r} {e^{x} - t α (x - α + 1)} d x + \int_{r}^{β} {e^{x} - tβ (x - β + 1)} d x

である。ここで第1項を計算する。 $r - α = β - 1$ より

\int_{α}^{r} {e^{x} - t α (x - α + 1)} d x = e^{r} - e^{α} - t α {\frac{( r - α ) ^{2}}{2} + (r - α)} = e^{r} - t α - t α {\frac{( β - 1 ) ^{2}}{2} + β - 1} = e^{r} - t α - t α \cdot \frac{β ^{2} - 1}{2}

である。第2項については $β - r = 1 - α$ であり $\int_{r}^{β} (x - β + 1) d x = \frac{1 - α ^{2}}{2}$ だから

\int_{r}^{β} {e^{x} - tβ (x - β + 1)} d x = e^{β} - e^{r} - tβ \cdot \frac{1 - α ^{2}}{2} = tβ - e^{r} - tβ \cdot \frac{1 - α ^{2}}{2}

である。両者を足すと $e^{r}$ が消えて

S_{2} = t (β - α) - \frac{t}{2} {α (β^{2} - 1) + β (1 - α^{2})} = t (β - α) - \frac{t}{2} {α β^{2} - α + β - α^{2} β} = \frac{t}{2} {2 (β - α) - α β (β - α) - (β - α)} = \frac{t ( β - α ) ( 1 - α β )}{2}

である。したがって $\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{1 - α β}{2}$ である。

(2)

$h (x) = e^{x} - t x$ とおく。 $t > e$ より $h (0) = 1 > 0, h (1) = e - t < 0$ であるから、小さい方の解 $α$ は $0 < α < 1$ を満たす。交点条件 $e^{α} = t α$ より $α = \frac{e ^{α}}{t}$ であり、 $α < 1$ だから $e^{α} < e$ である。よって $α < \frac{e}{t}$ である。

次に $β$ を評価する。 $t > e$ なので $2 lo g t > 2$ であり、特に $2 lo g t > 1 > α$ である。また $h (2 lo g t) = e^{2 l o g t} - 2 t lo g t = t^{2} - 2 t lo g t = t (t - 2 lo g t)$ である。 $ϕ (t) = t - 2 lo g t$ とおくと、 $t > e > 2$ で $ϕ^{'} (t) = 1 - \frac{2}{t} > 0$ であり、 $ϕ (e) = e - 2 > 0$ だから $t - 2 lo g t > 0$ である。したがって $h (2 lo g t) > 0$ である。

関数 $h (x) = e^{x} - t x$ は下に凸で、問題文の通り正の範囲で2つの交点をもつ。 $h (x)$ は2つの根の間で負、外側で正である。いま $2 lo g t > α$ かつ $h (2 lo g t) > 0$ なので、 $2 lo g t$ は大きい方の根 $β$ より右側にある。よって $β < 2 lo g t$ である。

以上より $0 < α β < \frac{e}{t} \cdot 2 lo g t = \frac{2 e l o g t}{t}$ である。 $t \to \infty$ のとき $\frac{l o g t}{t} \to 0$ だから $α β \to 0$ である。(1)より $\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{1 - α β}{2}$ なので $t \to \infty lim \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{1}{2}$ である。

名古屋大学 2015年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2015年度
理系数学第3問