問題
次の問に答えよ。
(1) とするとき，整数係数の4次多項式でとなるもののうち，の係数が1であるものを求めよ。
(2) 8つの実数
（ただし，複合はすべての可能性にわたる）の中で，(1)で求めたに対して方程式の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ。
(3) (2)で求めたの解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ。
方針
、、 とおくと、、 である。(1)は として を用い、 から を消去して4次多項式を作る。(2)は8つの候補を と書き、平方で得た方程式の符号条件を満たすかどうかを判定する。(3)は を確認し、4解の差を比較する。
解答
(1)
とおく。すると であり、 より である。さらに とおくと である。
いま だから であり が成り立つ。展開して を用いると すなわち である。両辺を2乗して を得る。したがって である。左辺を の式として展開すると なので である。
(2)
8つの数を と書く。ただし である。 とおくと である。よって
である。
は であり、これは を意味する。上で得た式から、 のとき
となるので が成り立つ。したがってこの4つはすべて解である。
一方、 の場合は解でないことを確認する。 なら であり、 である。 は を要求するので不可能である。 は を要求するが、 より ではこれは起こらない。
また なら であり、 である。 は を要求するので不可能である。 は を要求するが、 であり なので不可能である。よって残り4つは解でない。
したがって解となる4つは である。
(3)
まず であるから である。また であり、 だから である。よって である。
(2)で得た4解を とおく。明らかに が最大である。さらに であり、 である。したがって大きい順に である。